高考数学大二轮复习 大题专项练（三）立体几何 文-人教版高三数学试题VIP免费

大题专项练(三)立体几何A组基础通关1.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,BC=CC1,平面A1BC1⊥平面BCC1B1.证明:(1)AC∥平面A1BC1;(2)平面AB1C⊥平面A1BC1.证明(1)几何体为三棱柱四边形⇒ACC1A1为平行四边形⇒AC∥A1C1,又A1C1⊂平面A1BC1,AC⊄平面A1BC1,∴AC∥平面A1BC1.(2) BC=CC1且四边形BCC1B1为平行四边形,∴四边形BCC1B1为菱形,∴B1C⊥BC1.又平面A1BC1⊥平面BCC1B1,平面A1BC1∩平面BCC1B1=BC1,∴B1C⊥平面A1BC1.又B1C⊂平面AB1C,∴平面AB1C⊥平面A1BC1.2.如图,圆锥SO中,AB,CD为底面圆的两条直径,AB∩CD=O,且AB⊥CD,SO=OB=2,P为SB的中点.(1)求证:SA∥平面PCD;(2)求圆锥SO的表面积和体积.(1)证明连接PO, P、O分别为SB、AB的中点,∴PO∥SA,由于PO⊂平面PCD,SA∉平面PCD,∴SA∥平面PCD;(2)解 SO=2,OB=2,SO为圆锥的高,OB为圆锥底面圆的半径,∴V=13πr2h=13π×22×2=8π3,由于SO为圆锥的高,则母线SB=❑√SO2+OB2=2❑√2,∴S侧面=12l·SB=12×2×π×2×2❑√2=4❑√2π,S底面=πr2=π×22=4π,故S=S底面+S侧面=(4+4❑√2)π.3.等边三角形ABC的边长为3,点D,E分别是边AB,AC上的点,且满足ADDB=CEEA=12,如图甲,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使平面A1DE⊥平面BCED,连接A1B,A1C,如图乙,点M为A1D的中点.(1)求证:EM∥平面A1BC;(2)求四棱锥A1-BCED的体积.解(1)取BD的中点N,连接NE,则NE∥BC,在四棱锥A1-BCED中,NE与BC的平行关系不变.连接MN,在△DA1B中,MN∥A1B,又NM∩NE=N,BA1∩BC=B,∴平面MNE∥平面A1BC,又EM⊂平面MNE,∴EM∥平面A1BC.(2) 等边三角形ABC的边长为3,且ADDB=CEEA=12,∴AD=1,AE=2.在△ADE中,∠DAE=60°,由余弦定理得DE=❑√12+22-2×1×2×cos60°=❑√3,从而AD2+DE2=AE2,∴AD⊥DE.折起后有A1D⊥DE, 平面A1DE⊥平面BCED,平面A1DE∩平面BCED=DE,A1D⊂平面A1DE,∴A1D⊥平面BCED.∴四棱锥A1-BCED的体积V=13S四边形BCED·A1D,连接BE,则S四边形BCED=12CB·CEsin∠BCE+12BD·DE=12×1×3×sin60°+12×2×❑√3=7❑√34,∴V=13×7❑√34×1=7❑√312.4.如图所示,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,AB=2EF=2,EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°,BF=FC,H为BC的中点.(1)求证:FH∥平面EDB;(2)求证:AC⊥平面EDB;(3)求四面体B-DEF的体积.(1)证明设AC与BD交于点G,则G为AC的中点,如图所示,连接EG,GH. H为BC的中点,∴GH∥AB. EF∥AB,∴EF∥GH.又 EF=GH=12AB,∴四边形EFHG为平行四边形,∴EG∥FH. EG⊂平面EDB,FH⊄平面EDB,∴FH∥平面EDB.(2)证明 四边形ABCD为正方形,∴AB⊥BC. EF∥AB,∴EF⊥BC.又 EF⊥FB,BC∩FB=B,∴EF⊥平面BFC,又FH⊂平面BFC,∴EF⊥FH,∴AB⊥FH. BF=FC,H为BC的中点,∴FH⊥BC,又AB∩BC=B,∴FH⊥平面ABCD,∴FH⊥AC. FH∥EG,∴AC⊥EG. AC⊥BD,EG∩BD=G,∴AC⊥平面EDB.(3) EF⊥FB,BF⊥FC,EF∩FC=F,∴BF⊥平面CDEF,∴BF即为四面体B-DEF的高.由(2)知,EF⊥平面BFC,∴EF⊥FC.又 EF∥AB∥CD,∴FC为△DEF中EF边上的高. BC=AB=2,∴BF=FC=❑√2,∴V四面体B-DEF=13×12×1×❑√2×❑√2=13.5.如图,在五面体ABCDEF中,四边形CDEF为矩形,AD⊥CD.(1)证明:AB⊥平面ADE;(2)连接BD,BE,若二面角E-CD-A的大小为120°,AD=2AB=2DE=2,求三棱锥E-ABD的体积.(1)证明因为CD⊥AD,CD⊥DE,AD∩DE=D,所以CD⊥平面ADE,因为四边形CDFE为矩形,所以EF∥CD.又EF⊄平面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以EF∥平面ABCD.因为EF∥平面ABCD,EF⊂平面ABFE,平面ABFE∩平面ABCD=AB,所以EF∥AB,又EF∥CD,所以CD∥AB,又CD⊥平面ADE,所以AB⊥平面ADE.(2)解因为CD⊥AD,CD⊥DE,所以∠ADE即为二面角A-CD-E的平面角,所以∠ADE=120°.S△ADE=12DA·DE·sin∠ADE=12×2×1×❑√32=❑√32.于是V三棱锥E-ABD=V三棱锥B-ADE=13S△ADE·AB=13×❑√32×1=❑√36.6.如图,在四棱锥E-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,AB=❑√2,BC=2,截面EBD是等边三角形,M,N分别是AD,CE的中点.(1)求证:MN∥平面EAB;(2)若EC=EA,AB⊥DE,求三棱锥E-BMN的体积.(1)证明如图,取EB的中点F,连接AF,NF,在△ECB中,易得NF􀱀12BC,又在平行四边形ABCD中,AM􀱀12BC,∴NF􀱀AM,∴四边形AMNF是平行四边形, MN∥AF,AF⊂平面EAB,MN⊄平面EAB,∴MN∥平面EAB.(2)解如图,连接AC交BD于点O,连接EO...