大题专项练(一)三角函数A组基础通关1.已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且ccosB+(b-2a)cosC=0.(1)求角C的大小;(2)若c=2,求△ABC的面积S的最大值.解(1)因为ccosB+(b-2a)cosC=0,所以sinCcosB+(sinB-2sinA)cosC=0,所以sinCcosB+sinBcosC=2sinAcosC,所以sin(B+C)=2sinAcosC.又因为A+B+C=π,所以sinA=2sinAcosC.又因为A∈(0,π),所以sinA≠0,所以cosC=12.又C∈(0,π),所以C=π3.(2)由(1)知,C=π3,所以c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab.又c=2,所以4=a2+b2-ab.又a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立,所以ab≤4.所以△ABC面积的最大值(S△ABC)max=(12absinC)max=12×4×sinπ3=❑√3.2.如图,在梯形ABCD中,∠A=∠D=90°,M为AD上一点,AM=2MD=2,∠BMC=60°.(1)若∠AMB=60°,求BC;(2)设∠DCM=θ,若MB=4MC,求tanθ.解(1)由∠BMC=60°,∠AMB=60°,得∠CMD=60°.在Rt△ABM中,MB=2AM=4;在Rt△CDM中,MC=2MD=2.在△MBC中,由余弦定理,得BC2=BM2+MC2-2BM·MC·cos∠BMC=12,BC=2❑√3.(2)因为∠DCM=θ,所以∠ABM=60°-θ,0°<θ<60°.在Rt△MCD中,MC=1sinθ;在Rt△MAB中,MB=2sin(60°-θ),由MB=4MC,得2sin(60°-θ)=sinθ,所以❑√3cosθ-sinθ=sinθ,即2sinθ=❑√3cosθ,整理可得tanθ=❑√32.3.已知向量m=(2acosx,sinx),n=(cosx,bcosx),函数f(x)=m·n-❑√32,函数f(x)在y轴上的截距为❑√32,与y轴最近的最高点的坐标是(π12,1).(1)求函数f(x)的解析式;(2)将函数f(x)的图象向左平移φ(φ>0)个单位,再将图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍,得到函数y=sinx的图象,求φ的最小值.解(1)f(x)=m·n-❑√32=2acos2x+bsinxcosx-❑√32,由f(0)=2a-❑√32=❑√32,得a=❑√32,此时,f(x)=❑√32cos2x+b2sin2x,由f(x)≤❑√34+b24=1,得b=1或b=-1,当b=1时,f(x)=sin(2x+π3),经检验(π12,1)为最高点;当b=-1时,f(x)=sin(2x+2π3),经检验(π12,1)不是最高点.故函数的解析式为f(x)=sin(2x+π3).(2)函数f(x)的图象向左平移φ个单位后得到函数y=sin2x+2φ+π3的图象,横坐标伸长到原来的2倍后得到函数y=sinx+2φ+π3的图象,所以2φ+π3=2kπ(k∈Z),φ=-π6+kπ(k∈Z),因为φ>0,所以φ的最小值为5π6.4.函数f(x)=Asin(ωx+π6)(A>0,ω>0)的最大值为2,它的最小正周期为2π.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若g(x)=cosx·f(x),求g(x)在区间[-π6,π4]上的最大值和最小值.解(1)由已知f(x)最小正周期为2π,所以2πω=2π,解得ω=1.因为f(x)的最大值为2,所以A=2,所以f(x)的解析式为f(x)=2sin(x+π6).(2)因为f(x)=2sin(x+π6)=2sinxcosπ6+2cosxsinπ6=❑√3sinx+cosx,所以g(x)=cosx·f(x)=❑√3sinxcosx+cos2x=❑√32sin2x+1+cos2x2=sin(2x+π6)+12.因为-π6≤x≤π4,所以-π6≤2x+π6≤2π3,于是,当2x+π6=π2,即x=π6时,g(x)取得最大值32;当2x+π6=-π6,即x=-π6时,g(x)取得最小值0.5.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的一系列对应值如表:x-π40π6π4π23π4y01120-10(1)求f(x)的解析式;(2)若在△ABC中,AC=2,BC=3,f(A)=-12(A为锐角),求△ABC的面积.解(1)由题中表格给出的信息可知,函数f(x)的周期为T=3π4−(-π4)=π,所以ω=2ππ=2.注意到sin(2×0+φ)=1,也即φ=π2+2kπ(k∈Z),由0<φ<π,所以φ=π2.所以函数的解析式为f(x)=sin(2x+π2)=cos2x.(2) f(A)=cos2A=-12,且A为锐角,∴A=π3.在△ABC中,由正弦定理得,BCsinA=ACsinB,∴sinB=AC·sinABC=2×❑√323=❑√33, BC>AC,∴B
