能力升级练(二十)参数方程与极坐标1.(2019福建福州高三第一学期质量抽测)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为{x=❑√3+tcosα,y=y0+tsinα(t为参数,α为l的倾斜角),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线E的极坐标方程为ρ=4sinθ,直线θ=β,θ=β+π3,θ=β-π3(ρ∈R),与曲线E分别交于不同于极点O的三点A,B,C.(1)若π3<β<2π3,求证:|OB|+|OC|=|OA|;(2)当β=5π6时,直线l过B,C两点,求y0与α的值.解(1)证明:依题意,|OA|=|4sinβ|,|OB|=4sinβ+π3,|OC|=4sinβ-π3,∵π3<β<2π3,∴|OB|+|OC|=4sinβ+π3+4sinβ-π3=4sinβ=|OA|.(2)当β=5π6时,直线θ=β+π3与圆的交点B的极坐标为4sin7π6,7π6=-2,7π6=2,π6,直线θ=β-π3与圆的交点C点的极坐标为4sinπ2,π2=4,π2,从而,B、C两点的直角坐标分别为:B(❑√3,1),C(0,4),∴直线l的方程为y=-❑√3x+4,所以,y0=1,α=2π3.2.(2019河北衡水中学高三上学期七调)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为{x=1+cosα,y=sinα(α为参数),曲线C2的参数方程为{x=cosβ,y=1+sinβ(β为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C1和曲线C2的极坐标方程;(2)已知射线l1:θ=απ6<α<π2,将射线l1顺时针方向旋转π6得到射线l2:θ=α-π6,且射线l1与曲线C1交于O、P两点,射线l2与曲线C2交于O,Q两点,求|OP|·|OQ|的最大值.解(1)曲线C1直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,所以C1极坐标方程为ρ=2cosθ,曲线C2直角坐标方程为x2+(y-1)2=1,所以C2极坐标方程为ρ=2sinθ.(2)设点P的极坐标为(ρ1,α),即ρ1=2cosα,设点Q的极坐标为ρ2,α-π6,即ρ2=2sinα-π6,则|OP|·|OQ|=ρ1·ρ2=2cosα·2sinα-π6=4cosα❑√32sinα-12cosα=2❑√3sinαcosα-2cos2α=❑√3sin2α-cos2α-1=2sin2α-π6-1,∵π6<α<π2,∴π6<2α-π6<5π6,当2α-π6=π2,即α=α3时,|OP|·|OQ|取最大值1.3.(2019云南昆明调研)在直角坐标系xOy中,已知倾斜角为α的直线l过点A(2,1).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ,直线l与曲线C分别交于P,Q两点.(1)写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程;(2)若|PQ|2=|AP|·|AQ|,求直线l的斜率k.解(1)直线l的参数方程为{x=2+tcosα,y=1+tsinα(t为参数).曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2y.(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程,得t2+(4cosα)t+3=0,由Δ=(4cosα)2-4×3>0,得cos2α>34,由根与系数的关系,得t1+t2=-4cosα,t1·t2=3,由参数的几何意义知,|AP|=|t1|,|AQ|=|t2|,|PQ|=|t1-t2|,由题意知,(t1-t2)2=t1·t2,则(t1+t2)2=5t1·t2,得(-4cosα)2=5×3,解得cos2α=1516,满足cos2α>34,所以sin2α=116,tan2α=115,所以直线l的斜率k=tanα=±❑√1515.4.(一题多解)(2019河南郑州第一次质量预测)在平面直角坐标系xOy中,直线l过点(1,0),倾斜角为α,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程是ρ=8cosθ1-cos2θ.(1)写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程;(2)若α=π4,设直线l与曲线C交于A,B两点,求△AOB的面积.解(1)由题知直线l的参数方程为{x=1+tcosα,y=tsinα(t为参数).因为ρ=8cosθ1-cos2θ,所以ρsin2θ=8cosθ,所以ρ2sin2θ=8ρcosθ,即y2=8x.(2)方法一:当α=π4时,直线l的参数方程为{x=1+❑√22t,y=❑√22t(t为参数),代入y2=8x可得t2-8❑√2t-16=0,设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=8❑√2,t1·t2=-16,所以|AB|=|t1-t2|=❑√(t1+t2)2-4t1·t2=8❑√3.又点O到直线AB的距离d=1×sinπ4=❑√22,所以S△AOB=12|AB|×d=12×8❑√3×❑√22=2❑√6.方法二:当α=π4时,直线l的方程为y=x-1,设M(1,0),A(x1,y1),B(x2,y2),由{y2=8x,y=x-1,得y2=8(y+1),即y2-8y-8=0,由根与系数的关系得{y1+y2=8,y1y2=-8,S△AOB=12|OM||y1-y2|=12×1×❑√(y1+y2)2-4y1y2=12×❑√82-4×(-8)=12×4❑√6=2❑√6.5.(2019贵州贵阳模拟)在平面直角坐标系xOy中,曲线C:{x=❑√3cosα,y=sinα(α为参数),在以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为❑√22ρcosθ+π4=-1.(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程;(2)过点M(-1,0)且与直线l平行的直线l1交曲线C于A,B两点,求点M到A,B两点的距离之和.解(1)曲线C的普通方程为x23+y2=1,由❑√22ρcosθ+π4=-1,得ρcosθ-ρsinθ=-2,所以直线l的直角坐标方程为x-y+2=0.(2)直线l1的参数方程为{x=-1+❑√22t,y=❑√22t(t为参数),将其代入x23+y2=1中,化简得:2t2-❑√2t-2=0,设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=❑√22,t1t2=-1,所以|MA|+|MB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|=❑√(t1+t2)2-4t1t2=❑√(❑√22)2-4×(-1)=3❑√22.
