能力升级练(十)空间中的平行与垂直关系一、选择题1.已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a,那么c与b()A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线解析由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线,但不可能为平行直线,若b∥c,则a∥b,与已知a,b为异面直线相矛盾.答案C2.设α为平面,a、b为两条不同的直线,则下列叙述正确的是()A.若a∥α,b∥α,则a∥bB.若a⊥α,a∥b,则b⊥αC.若a⊥α,a⊥b,则b∥αD.若a∥α,a⊥b,则b⊥α解析若a∥α,b∥α,则a与b相交、平行或异面,故A错误;易知B正确;若a⊥α,a⊥b,则b∥α或b⊂α,故C错误;若a∥α,a⊥b,则b∥α或b⊂α或b与α相交,故D错误.故选B.答案B3.设l是直线,α,β是两个不同的平面,则下列说法正确的是()A.若l∥α,l∥β,则α∥βB.若l∥α,l⊥β,则α⊥βC.若α⊥β,l⊥α,则l∥βD.若α⊥β,l∥α,则l⊥β解析对于A,若l∥α,l∥β,则α∥β或α与β相交,故A错;易知B正确;对于C,若α⊥β,l⊥α,则l∥β或l⊂β,故C错;对于D,若α⊥β,l∥α,则l与β的位置关系不确定,故D错.故选B.答案B4.如图,在三棱锥D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列命题中正确的是()A.平面ABC⊥平面ABDB.平面ABD⊥平面BCDC.平面ABC⊥平面BDE,且平面ACD⊥平面BDED.平面ABC⊥平面ACD,且平面ACD⊥平面BDE解析因为AB=CB,且E是AC的中点,所以BE⊥AC,同理,DE⊥AC,由于DE∩BE=E,于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面BDE.又AC⊂平面ACD,所以平面ACD⊥平面BDE.故选C.答案C5.已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,给出四个命题:①若α∩β=m,n⊂α,n⊥m,则α⊥β;②若m⊥α,m⊥β,则α∥β;③若m⊥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β;④若m∥α,n∥β,m∥n,则α∥β.其中正确的命题是()A.①②B.②③C.①④D.②④解析两个平面斜交时也会出现一个平面内的直线垂直于两个平面的交线的情况,①不正确;垂直于同一条直线的两个平面平行,②正确;当两个平面与两条互相垂直的直线分别垂直时,它们所成的二面角为直二面角,故③正确;当两个平面相交时,分别与两个平面平行的直线也平行,故④不正确.答案B6.如图,在底面为正方形,侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A.15B.25C.35D.45解析连接BC1,易证BC1∥AD1,则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角.连接A1C1,由AB=1,AA1=2,则A1C1=❑√2,A1B=BC1=❑√5,在△A1BC1中,由余弦定理得cos∠A1BC1=5+5-22×❑√5×❑√5=45.答案D7.(2018江西赣州模拟)如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,且BC1⊥AC,过C1作C1H⊥底面ABC,垂足为H,则点H在()A.直线AC上B.直线AB上C.直线BC上D.△ABC内部解析连接AC1,如图. ∠BAC=90°,∴AC⊥AB, BC1⊥AC,BC1∩AB=B,∴AC⊥平面ABC1.又AC在平面ABC内,∴根据面面垂直的判定定理,知平面ABC⊥平面ABC1,则根据面面垂直的性质定理知,在平面ABC1内一点C1向平面ABC作垂线,垂足必落在直线AB上.故选B.答案B8.如图,在矩形ABCD中,AB=❑√3,BC=1,将△ACD沿AC折起,使得D折起后的位置为D1,且D1在平面ABC上的射影恰好落在AB上,在四面体D1ABC的四个面中,有n对平面相互垂直,则n等于()A.2B.3C.4D.5解析如图,设D1在平面ABC上的射影为E,连接D1E,则D1E⊥平面ABC,因为D1E⊂平面ABD1,所以平面ABD1⊥平面ABC.因为D1E⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以D1E⊥BC,又AB⊥BC,D1E∩AB=E,所以BC⊥平面ABD1,又BC⊂平面BCD1,所以平面BCD1⊥平面ABD1,因为BC⊥平面ABD1,AD1⊂平面ABD1,所以BC⊥AD1,又CD1⊥AD1,BC∩CD1=C,所以AD1⊥平面BCD1,又AD1⊂平面ACD1,所以平面ACD1⊥平面BCD1.所以共有3对平面互相垂直.故选B.答案B二、填空题9.(2018广东广州调研)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点M为CC1的中点,点N为线段DD1上靠近D1的三等分点,平面BMN交AA1于点Q,则线段AQ的长为.解析如图所示,在线段DD1上靠近点D处取一点T,使得DT=13,因为N是线段DD1上靠近D1的三等分点,故D1N=23,故NT=2-13−23=1,因为M为CC1的中点,故CM=1,连接TC,由NT∥CM,且CM=NT=1,知四边形CMNT为平行四边形,故CT∥MN,同理在AA1上靠近A处取一点Q',使得AQ'=13,连接BQ',TQ',易知TQ'∥BC,TQ'=BC,即四边形BCTQ'是...
