能力升级练(十八)椭圆、双曲线与抛物线一、选择题1.(2019福建厦门3月质量检查)若抛物线x2=ay的焦点到准线的距离为1,则a=()A.2B.4C.±2D.±4解析由抛物线x2=ay,可知:焦点坐标为0,a4,准线方程为y=-a4,∴抛物线x2=ay的焦点到准线的距离为a4+a4=1,解得a=±2,故选C.答案C2.(2019四川成都高新区高三一诊)已知椭圆C:16x2+4y2=1,则下列结论正确的是()A.长轴长为12B.焦距为❑√34C.短轴长为14D.离心率为❑√32解析把椭圆方程16x2+4y2=1化为标准方程可得x2116+y214=1,所以a=12,b=14,c=❑√34,长轴长为2a=1,焦距2c=❑√32,短轴长为2b=12,离心率e=ca=❑√32,故选D.答案D3.双曲线C1的中心在原点,焦点在x轴上,若C1的一个焦点与抛物线C2:y2=12x的焦点重合,且抛物线C2的准线交双曲线C1所得的弦长为4❑√3,则双曲线C1的实轴长为()A.6B.2❑√6C.❑√3D.2❑√3解析设双曲线C1的方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0).由已知,抛物线C2的焦点为(3,0),准线方程为x=-3,即双曲线中c=3,a2+b2=9;将-3代入双曲线方程,解得y=±ba❑√9-a2,又抛物线C2的准线交双曲线C1所得的弦长为4❑√3,所以2×ba❑√9-a2=4❑√3与a2+b2=9联立,得a2+2❑√3a-9=0,解得a=❑√3,故双曲线C1的实轴长为2❑√3.故选D.答案D4.(2019青海西宁四中第二次模拟)双曲线x216−y29=1的左、右焦点分别为F1,F2,在左支上过点F1的弦AB的长为5,那么△ABF2的周长是()A.12B.16C.21D.26解析依题意,|AF2|-|AF1|=2a=8,|BF2|-|BF1|=2a=8,∴|AF2|-|AF1|+(|BF2|-|BF1|)=16,又|AB|=5,∴|AF2|+|BF2|=16+(|AF1|+|BF1|)=16+|AB|=16+5=21.∴|AF2|+|BF2|+|AB|=21+5=26.即△ABF2的周长是26.故选D.答案D5.(2019广东东莞二调)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的14,则该椭圆的离心率为()A.13B.12C.23D.34解析设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1,直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,则直线方程为xc+yb=1,椭圆中心到l的距离为其短轴长的14,可得1❑√1c2+1b2=b2,4=b21c2+1b2,∴b2c2=3,a2-c2c2=3,∴e=ca=12.故选B.答案B6.(2019湖北七市教研协作体4月联考)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线与双曲线x2-y23=1的一条渐近线平行,并交抛物线于A,B两点,若|AF|>|BF|,且|AF|=2,则抛物线的方程为()A.y2=2xB.y2=3xC.y2=4xD.y2=x解析抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的坐标为p2,0,准线方程为x=-p2,双曲线x2-y23=1的渐近线方程为y=±❑√3x,由于过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线与双曲线x2-y23=1的一条渐近线平行,并交抛物线于A,B两点,且|AF|>|BF|,所以可设直线AB方程为y=❑√3x-p2,设A(x0,y0)x0>p2,则|AF|=x0+p2=2,x0=2-p2,由x0>p2可得0
0,b>0)的离心率为2,A,B为其左、右顶点,点P为双曲线C在第一象限的任意一点,点O为坐标原点,若PA,PB,PO的斜率为k1,k2,k3,则m=k1k2k3的取值范围为()A.(0,3❑√3)B.(0,❑√3)C.(0,❑√39)D.(0,8)解析e=ca=2,b=❑√3a,设P(x,y),则x2a2−y2b2=1,k1k2=yx+a·yx-a=y2x2-a2=b2a2=3,又双曲线的渐近线为y=±❑√3x,所以0❑√2,0
