能力升级练(十五)导数及其综合应用(1)一、选择题1.(2019湖南株洲质检)设函数y=xsinx+cosx的图象在点(t,f(t))处切线的斜率为g(t),则函数y=g(t)的图象一部分可以是()解析因为y'=xcosx,所以g(t)=tcost,由g(-t)=-tcost=-g(t)知函数g(t)为奇函数,所以排除B,D选项,当从y轴右侧t→0时,cost>0,t>0,所以g(t)>0,故选A.答案A2.(2019云南昆明统考)已知函数f(x)=exx2+2klnx-kx,若x=2是函数f(x)的唯一极值点,则实数k的取值范围是()A.-∞,e24B.-∞,e2C.(0,2]D.[2,+∞)解析由题意得f'(x)=ex(x-2)x3+2kx-k=(x-2)(ex-kx2)x3,f'(2)=0,令g(x)=ex-kx2,则g(x)在区间(0,+∞)内恒大于等于0或恒小于等于0,令g(x)=0,得k=exx2,令h(x)=exx2,则h'(x)=ex(x-2)x3,所以h(x)最小值为h(2)=e24,无最大值,所以k≤e24,故选A.答案A3.(2019河北衡水金卷调研)已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f'(x),满足f'(x)0,即所求不等式的解集为(0,+∞).答案B4.设a∈R,若函数y=eax+3x,x∈R有大于零的极值点,则()A.a>-3B.a<-3C.a>-13D.a<-13解析由题意得,y'=aeax+3=0在(0,+∞)上有解,即aeax=-3, eax>0,∴a<0.又当a<0时,00时,g'(x)>0,当x<0时,g'(x)<0,所以g(x)min=g(0)=0,即ex≥x+1,设函数h(x)=x+1-ln(x+2)(x>-2),h'(x)=1-1x+2=x+1x+2,令h'(x)>0,得x>-1,令h'(x)<0,得-2ln(x+2),ex-ln(x+2)>0,函数f(x)=ex-ln(x+2)-2的值域为(-2,+∞),故选C.答案C7.(2019辽宁沈阳一模)已知函数f(x)=alnx-2x,若不等式f(x+1)>f(ex)在x∈(1,+∞)上恒成立,则实数a的取值范围是()A.a≤2B.a≥2C.a≤0D.0≤a≤2解析当x>0时g'(x)=ex-1>e0-1=0,所以g(x)=ex-x-1在(0,+∞)上递增,得g(x)>g(0)=e0-0-1=0,所以当x>0时,1f(ex)在x∈(1,+∞)上恒成立,则函数f(x)在(1,+∞)上递减,即当x>1时,f'(x)≤0恒成立,所以f'(x)=ax-2≤0,即a≤2x(x>1)恒成立,因为2x>2,所以a≤2,故选A.答案A二、填空题8.(2019河南焦作模拟)已知f(x)=xlnx+f'(1)x,则f'(1)=.解析因为f'(x)=1+lnx-f'(1)x2,令x=1,得f'(1)=1-f'(1),解得f'(1)=12.答案129.(2018全国Ⅲ,理14)直线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a=.解析设f(x)=(ax+1)ex, f'(x)=a·ex+(ax+1)ex=(ax+a+1)ex,∴f(x)=(ax+1)ex在(0,1)处的切线斜率k=f'(0)=a+1=-2,∴a=-3.答案-310.(2017浙江,7改编)函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是.解析设导函数y=f'(x)的三个零点分别为x1,x2,x3,且x1<00,f(x)是增函数,所以函数y=f(x)的图象可能为④,故填④.答案④11.(2019河北衡水中学模考)函数f(x)=alnxx的图象在点(e2,f(e2))处的切线与直线y=-1e4x平行,则f(x)的极值点是.解析f'(x)=a(1-lnx)x2,故f'(e2)=-ae4=-1e4,解得a=1,故f(x)=lnxx,f'(x)=1-lnxx2,令f'(x)...
