专题突破练18空间中的垂直与几何体的体积1.(2019山东青岛二模,文18)如图,在圆柱中,点O1、O2分别为上、下底面的圆心,平面MNFE是轴截面,点H在上底面圆周上(异于N、F),点G为下底面圆弧ME⏜的中点,点H与点G在平面MNFE的同侧,圆柱的底面半径为1.(1)若平面FNH⊥平面NHG,证明:NG⊥FH;(2)若直线O1H∥平面FGE,求H到平面FGE的距离.2.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,M是棱CC1的中点.(1)求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值;(2)求BM与平面A1B1M所成的角的大小.3.(2019陕西咸阳一模,文19)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠ABC=120°,PA=PC,PB=PD,AC∩BD=O.(1)求证:PO⊥平面ABCD;(2)若PB=BD=2,求点O到平面PBC的距离.4.(2019全国卷3,文19)图①是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°.将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连接DG,如图②.(1)证明:图②中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC⊥平面BCGE;(2)求图②中的四边形ACGD的面积.5.(2019山东潍坊三模,文18)如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是边长为2的菱形,且∠BCD=60°,平面FBC⊥平面ABCD,EF∥AB,FB=FC,H为BC的中点.(1)求证:FH⊥平面ABCD;(2)若△FBC为等边三角形,Q为线段EF上的一点,求三棱锥A-CDQ的体积.6.(2019山西吕梁4月模拟,文18)如图,在三棱锥P-ABC中,底面ABC是等边三角形,D为BC边的中点,PO⊥平面ABC,点O在线段AD上.(1)证明:∠PAB=∠PAC;(2)若AB=PB=2,直线PB和平面ABC所成的角的正弦值为34,求点C到平面PAB的距离.7.(2019湖北省一月模拟,文18)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB⊥PC,AD∥BC,AD⊥CD,且PC=BC=2AD=2CD=2❑√2,PA=2.(1)证明PA⊥平面ABCD;(2)已知点M在线段PD上,且PM=2MD,求点D到平面MAC的距离.参考答案专题突破练18空间中的垂直与几何体的体积1.(1)证明由题知平面FNH⊥平面NHG,平面FNH∩平面NHG=NH.因为NH⊥FH,FH⊂平面FHN,所以FH⊥平面NHG,所以FH⊥NG.(2)解连接O1O2,如图所示,因为O1O2∥EF,O1O2⊄平面FGE,EF⊂平面FGE,所以O1O2∥平面FGE.又因为直线O1H∥平面FGE,O1H∩O1O2=O1,所以平面O1HO2∥平面FGE,所以H到平面FGE的距离等于O2到平面FGE的距离.取线段EG的中点V,因为O2V⊥EG,O2V⊥EF,EG∩EF=E,所以O2V⊥平面FGE,所以H到平面FGE的距离为O2V,在等腰直角三角形EO2G中,O2E=O2G=1,所以O2V=❑√22,所以所求的距离为❑√22.2.解(1) C1D1∥B1A1,∴∠MA1B1为异面直线A1M与C1D1所成的角. A1B1⊥平面BCC1B1,∴∠A1B1M=90°.又A1B1=1,B1M=❑√2,∴tan∠MA1B1=B1MA1B1=❑√2.即异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值为❑√2.(2)由A1B1⊥平面BCC1B1,BM⊂平面BCC1B1,得A1B1⊥BM.由(1)知,B1M=❑√2,又BM=❑√BC2+CM2=❑√2,B1B=2,∴B1M2+BM2=B1B2,从而BM⊥B1M.又A1B1∩B1M=B1,∴BM⊥平面A1B1M,∴BM与平面A1B1M所成的角为90°.3.(1)证明 四边形ABCD是菱形,∴O为AC,BD的中点.又PA=PC,PB=PD,∴PO⊥AC,PO⊥BD, AC∩BD=O,且AC,BD⊂平面ABCD,∴PO⊥平面ABCD.(2)解 PB=BD=2且PB=PD,∴△PBD为等边三角形,则PO=❑√3. ∠ABC=120°,四边形ABCD为菱形,∴BC=2,CO=❑√3.由(1)PO⊥平面ABCD,得到PC=❑√6,∴S△PBC=12×❑√6×❑√102=❑√152.又S△BOC=12×1×❑√3=❑√32,PO⊥平面ABCD,设O到平面PBC的距离为h,由VP-BOC=VO-PBC,得13×S△BOC×PO=13×S△PBC×h,解得h=❑√155.4.(1)证明由已知得AD∥BE,CG∥BE,所以AD∥CG,故AD,CG确定一个平面,从而A,C,G,D四点共面.由已知得AB⊥BE,AB⊥BC,故AB⊥平面BCGE.又因为AB⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面BCGE.(2)解取CG的中点M,连接EM,DM.因为AB∥DE,AB⊥平面BCGE,所以DE⊥平面BCGE,故DE⊥CG.由已知,四边形BCGE是菱形,且∠EBC=60°得EM⊥CG,故CG⊥平面DEM.因此DM⊥CG.在Rt△DEM中,DE=1,EM=❑√3,故DM=2.所以四边形ACGD的面积为4.5.(1)证明因为FB=FC,H为BC的中点,所以FH⊥BC.因为平面FBC⊥平面ABCD,平面FBC∩平面ABCD=BC,所以FH⊥平面ABCD.(2)因为△FBC为等边三角形,BC=2,所以FH=❑√3,因为EF∥AB,EF⊄平面ABCD,AB⊂平面ABCD,所以EF∥平面ABCD.因为点Q在线段EF上,所以点Q到平面ABCD的距离等于点F到平面ABCD的距离.因为四边形ABCD为菱形,AD=CD=2,∠ADC=120°,所以S△ACD...
