专题突破练26圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题1.(2019北京房山区高三第一次模拟测试)已知椭圆x24+y23=1,过坐标原点O做两条互相垂直的射线,与椭圆分别交于M,N两点.(1)求椭圆的离心率;(2)求证:点O到直线MN的距离为定值.2.(2019辽宁丹东高三总复习质量测试一)已知离心率为2的双曲线C的一个焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为❑√3.(1)求双曲线C的方程;(2)设A1,A2分别为C的左、右顶点,P为C异于A1,A2的一点,直线A1P与A2P分别交y轴于M,N两点,求证:以线段MN为直径的圆D经过两个定点.3.(2019山东聊城高三三模)设椭圆C:x24+y2b2=1(b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,上顶点为A,过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q,且⃗F1Q+⃗F1F2=0.(1)求椭圆C的方程;(2)过椭圆C的右焦点F2作斜率为1的直线l与椭圆C交于M,N两点,试在x轴上求一点P,使得以PM,PN为邻边的平行四边形是菱形.4.(2019江西新八校高三第二次联考)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),c=❑√3,左、右焦点为F1,F2,点P,A,B在椭圆C上,且点A,B关于原点对称,直线PA,PB的斜率的乘积为-14.(1)求椭圆C的方程;(2)已知直线l经过点Q(2,2),且与椭圆C交于不同的两点M,N,若|QM||QN|=163,判断直线l的斜率是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.5.(2019山东青岛高考模拟检测)已知O为坐标原点,点F1(-❑√2,0),F2(❑√2,0),S(3❑√2,0),动点N满足|NF1|+|NS|=4❑√3,点P为线段NF1的中点,抛物线C:x2=2my(m>0)上点A的纵坐标为❑√6,⃗OA·⃗OS=6❑√6.(1)求动点P的轨迹曲线W的标准方程及抛物线C的标准方程;(2)若抛物线C的准线上一点Q满足OP⊥OQ,试判断1|OP|2+1|OQ|2是否为定值?若是,求这个定值;若不是,请说明理由.6.(2019山东日照高三5月校际联合考试)如图,已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0),A(4,0)是长轴的一个端点,弦BC过椭圆的中心O,且cos<⃗OA,⃗CA>=2❑√1313,|⃗OC−⃗OB|=2|⃗BC−⃗BA|.(1)求椭圆E的方程.(2)过椭圆E右焦点F的直线,交椭圆E于A1,B1两点,交直线x=8于点M,判定直线CA1,CM,CB1的斜率是否依次构成等差数列?请说明理由.参考答案专题突破练26圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题1.(1)解由椭圆的方程x24+y23=1,可得a=2,b=❑√3,∴c2=a2-b2=1.∴椭圆的离心率e=ca=12.(2)证明当直线MN的斜率不存在时,∠MON=90°,不妨设M(x0,x0),则有N(x0,-x0).又M,N两点在椭圆上,∴x024+x023=1,∴x02=127.∴点O到直线MN的距离d=❑√127=2❑√217.当直线MN的斜率存在时,设直线MN的方程为y=kx+m.由{y=kx+m,x24+y23=1,消去y得(3+4k2)·x2+8kmx+4m2-12=0,则Δ=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)>0.设M(x1,y1),N(x2,y2).∴x1+x2=-8km3+4k2,x1x2=4m2-123+4k2. OM⊥ON,∴x1x2+y1y2=0.∴x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0.即(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2=0.∴(k2+1)·4m2-123+4k2−8k2m23+4k2+m2=0.整理得7m2=12(k2+1),满足Δ>0,∴点O到直线MN的距离d=|m|❑√k2+1=❑√127=2❑√217.综上所述,点O到直线MN的距离为定值2❑√217.2.(1)解设C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0),因为离心率为2,所以c=2a,b=❑√3a.所以C的渐近线为❑√3x±y=0,不妨取其中一条❑√3x+y=0.由❑√3=|❑√3c-0|❑√(❑√3)2+12,得c=2.于是a=1,b=❑√3,故双曲线C的方程为x2-y23=1.(2)证明设P(x0,y0)(x0≠±1),因为A1(-1,0),A2(1,0),可得直线A1P与A2P的方程分别为y=y0x0+1(x+1),y=y0x0-1(x-1).由题设,所以M0,y0x0+1,N0,-y0x0-1,|MN|=|2x0y0x02-1|,MN中点坐标0,y01-x02,于是圆D的方程为x2+y-y01-x022=x02y02(x02-1)2.因为x02−y023=1,所以圆D的方程可化为x2+y2+6y0y-3=0.当y=0时,x=±❑√3,因此D经过两个定点(-❑√3,0)和(❑√3,0).3.解(1)设椭圆C的焦距为2c(c>0),则点F1坐标为(-c,0),点F2坐标为(c,0).设Q(x0,0),且x0<0,则⃗F1Q=(x0+c,0),⃗F1F2=(2c,0), ⃗F1Q+⃗F1F2=0,则x0+c+2c=0,∴x0=-3c,即点Q(-3c,0). 直线AF2与直线AQ垂直,且点A(0,b),∴⃗AF2=(c,-b),⃗AQ=(-3c,-b).由⃗AF2·⃗AQ=b2-3c2=0,得b2=3c2, 4=b2+c2=4c2,∴c=1,b=❑√3.因此,椭圆C的方程为x24+y23=1.(2)由(1)得F2(1,0).设点M(x1,y1),N(x2,y2),直线l的方程为y=x-1.将直线l的方程与椭圆C的方程联立{y=x-1,x24+y23=1,消去y并整理得7x2-8x-8=0,由韦达定理得x1+x2=87,x1x2=-87,...
