第8讲立体几何中的向量方法(二)——求空间角一、选择题1.(2016·长沙模拟)在正方体A1B1C1D1－ABCD中，AC与B1D所成的角的大小为()A.B.C.D.解析建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体边长为1，则A(0，0，0)，C(1，1，0)，B1(1，0，1)，D(0，1，0).∴AC＝(1，1，0)，B1D＝(－1，1，－1)， AC·B1D＝1×(－1)＋1×1＋0×(－1)＝0，∴AC⊥B1D，∴AC与B1D所成的角为.答案D2.(2017·郑州调研)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为()A.B.C.D.解析设正方体的棱长为1，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.则B(1，1，0)，B1(1，1，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，所以BB1＝(0，0，1)，AC＝(－1，1，0)，AD1＝(－1，0，1).令平面ACD1的法向量为n＝(x，y，z)，则n·AC＝－x＋y＝0，n·AD1＝－x＋z＝0，令x＝1，可得n＝(1，1，1)，所以sinθ＝|cos〈n，BB1〉|＝＝.答案B3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为()A.B.C.D.解析以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，设棱长为1，则A1(0，0，1)，E，D(0，1，0)，∴A1D＝(0，1，－1)，A1E＝，设平面A1ED的一个法向量为n1＝(1，y，z)，所以有即解得∴n1＝(1，2，2). 平面ABCD的一个法向量为n2＝(0，0，1)，∴cos〈n1，n2〉＝＝.即所成的锐二面角的余弦值为.答案B4.(2017·西安调研)已知六面体ABC－A1B1C1是各棱长均等于a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点，则直线CC1与平面AB1D所成的角为()A.45°B.60°C.90°D.30°解析如图所示，取AC的中点N，以N为坐标原点，建立空间直角坐标系.则A，C，B1，D，C1，∴AB1＝，AD＝，CC1＝(0，0，a).设平面AB1D的法向量为n＝(x，y，z)，由n·AB1＝0，n·AD＝0，可取n＝(，1，－2).∴cos〈CC1，n〉＝＝＝－，∴直线CC1与平面AB1D所成的角为45°.答案A5.设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是()A.B.C.D.解析如图建立坐标系.则D1(0，0，2)，A1(2，0，2)，B(2，2，0)，D1A1＝(2，0，0)，DB＝(2，2，0)，设平面A1BD的一个法向量n＝(x，y，z)，则∴令z＝1，得n＝(－1，1，1).∴D1到平面A1BD的距离d＝＝＝.答案D二、填空题6.(2017·昆明月考)如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是__________.解析以BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系.设AB＝BC＝AA1＝2，则C1(2，0，2)，E(0，1，0)，F(0，0，1)，则EF＝(0，－1，1)，BC1＝(2，0，2)，∴EF·BC1＝2，∴cos〈EF，BC1〉＝＝，∴EF和BC1所成的角为60°.答案60°7.在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于__________.解析以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图.设AA1＝2AB＝2，则D(0，0，0)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，C1(0，1，2)，则DC＝(0，1，0)，DB＝(1，1，0)，DC1＝(0，1，2).设平面BDC1的一个法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥DB，n⊥DC1，所以有令y＝－2，得平面BDC1的一个法向量为n＝(2，－2，1).设CD与平面BDC1所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈n，DC〉|＝＝.答案8.已知点E，F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于________.解析延长FE，CB相交于点G，连接AG，如图所示.设正方体的棱长为3，则GB＝BC＝3，作BH⊥AG于点H，连接EH，则∠EHB为所求二面角的平面角. BH＝，EB＝1，∴tan∠EHB＝＝.答案三、解答题9.(·全国Ⅰ卷)如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.(1)证明：平面AEC⊥平面AFC，(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.(1)证明如图，连接BD，设BD∩AC＝G，连接EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB＝1.由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝.由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，可知AE＝EC.又AE⊥EC，所以EG＝，且EG⊥AC.在Rt△EBG中，可得BE＝，故DF＝.在Rt△FDG中，可得FG＝.在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝，DF＝...
