阶段强化练(六)一、选择题1．(2019·四川诊断)已知直线l和平面α，若l∥α，P∈α，则过点P且平行于l的直线()A．只有一条，不在平面α内B．只有一条，且在平面α内C．有无数条，一定在平面α内D．有无数条，不一定在平面α内答案B解析假设过点P且平行于l的直线有两条m与n，则m∥l且n∥l，由平行公理得m∥n，这与两条直线m与n相交与点P相矛盾，故过点P且平行于l的直线只有一条，又因为点P在平面内，所以过点P且平行于l的直线只有一条且在平面内．故选B.2．(2019·化州模拟)设m，n为两条不同的直线，α为平面，则下列结论正确的是()A．m⊥n，m∥α⇒n⊥αB．m⊥n，m⊥α⇒n∥αC．m∥n，m⊥α⇒n⊥αD．m∥n，m∥α⇒n∥α答案C解析对于A，若m⊥n，m∥α时，可能n⊂α或斜交，故错误；对于B，m⊥n，m⊥α⇒n∥α或n⊂α，故错误；对于C，m∥n，m⊥α⇒n⊥α，正确；对于D，m∥n，m∥α⇒n∥α或n⊂α，故错误．故选C.3．已知l⊥平面α，直线m⊂平面β.有下面四个命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.其中正确的命题是()A．①②B．③④C．②④D．①③答案D解析 l⊥α，α∥β，∴l⊥β， m⊂β，∴l⊥m，故①正确； l∥m，l⊥α，∴m⊥α，又 m⊂β，∴α⊥β，故③正确．4.如图所示，在四面体D－ABC中，若AB＝BC，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE答案C解析因为AB＝BC，且E是AC的中点，所以BE⊥AC.同理，DE⊥AC.又BE∩DE＝E，所以AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.5．(2019·唐山模拟)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2AA1，则异面直线A1B与B1C所成角的余弦值为()A.B.C.D.答案B解析在长方体ABCD－A1B1C1D1中，连接A1D，可得A1D∥B1C，所以异面直线A1B与B1C所成的角，即为直线A1B与直线A1D所成的角，即∠DA1B为异面直线A1B与B1C所成的角，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，设AB＝BC＝2AA1＝2，则A1B＝A1D＝，BD＝2，在△A1BD中，由余弦定理得cos∠DA1B＝＝＝，故选B.6．(2019·长春质检)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线A1C1与平面ABC1D1所成角的正弦值为()A．1B.C.D.答案D解析如图所示，连接A1D，AD1交于点O，连接OC1，在正方体中， AB⊥平面AD1，∴AB⊥A1D，又A1D⊥AD1，且AD1∩AB＝A，∴A1D⊥平面AD1C1B，∴∠A1C1O即为A1C1与平面ABC1D1所成的角，在Rt△A1C1O中，sin∠A1C1O＝，所以A1C1与平面ABC1D1所成角的正弦值为，故选D.7．(2019·湖南岳阳一中质检)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝，AA1＝1，而对角线A1B上存在一点P，使得AP＋D1P取得最小值，则此最小值为()A．2B．3C．1＋D.答案D解析把对角面A1C绕A1B旋转至ABB1A1，使其与△AA1B在同一平面上，连接AD1，在△AA1D1中，AA1＝1，A1D1＝，∠AA1D1＝∠AA1B＋90°＝150°，则AP＋D1P的最小值为AD1＝＝.故选D.8．(2019·湖南五市十校联考)已知E，F分别是三棱锥P－ABC的棱AP，BC的中点，AB＝6，PC＝6，EF＝3，则异面直线AB与PC所成的角为()A．120°B．45°C．30°D．60°答案D解析取AC的中点D，连接ED，FD，因为E，F分别是三棱锥P－ABC的棱AP，BC的中点，所以ED∥PC，FD∥AB，则直线DE与直线DF所成的角即异面直线AB与PC所成的角，又因为AB＝6，PC＝6，EF＝3，所以在△DEF中，cos∠EDF＝＝－，即∠EDF＝120°，所以异面直线AB与PC所成的角为60°.9．(2019·淄博期中)鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全一样的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来．若正四棱柱的高为5，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为(容器壁的厚度忽略不计)()A．28πB．30πC．60πD．120π答案B解析由题意知，该球形容器的半径的最小值为＝，∴该球形容器的表面积的最小值为4π×2＝30π.故选B.10．(2019·安徽皖南八校联考)已知一个三棱锥的六条棱的长分别为1,...
