重点难点突破（选修模块）专题一导数及其应用第2讲导数的综合应用(建议用时：70分钟)一、选择题1．已知函数f(x)＝x3－2x2＋3m，x∈[0∞，＋)，若f(x)＋5≥0恒成立，则实数m的取值范围是()．A.B.C．(∞－，2]D．(∞－，2)解析f′(x)＝x2－4x，由f′(x)>0，得x>4或x<0.∴f(x)在(0,4)上递减，在(4∞，＋)上递增，∴当x∈[0∞，＋)时，f(x)min＝f(4)．∴要使f(x)＋5≥0恒成立，只需f(4)＋5≥0恒成立即可，代入解之得m≥.答案A2．下面四个图象中，有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R)的导函数y＝f′(x)图象，则f(－1)等于()．A.B．－C.D．－或解析 f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1，∴f′(x)的图象开口向上，则②，④排除．若图象不过原点，则f′(x)的图象为①，此时a＝0，f(－1)＝；若图象过原点，则f′(x)的图象为③，此时a2－1＝0，又对称轴x＝－a>0，∴a＝－1，∴f(－1)＝－.答案D3．函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意x∈R，f(x)＋f′(x)>1，则不等式ex·f(x)>ex＋1的解集为()．A.B.C.D.解析构造函数g(x)＝ex·f(x)－ex，因为g′(x)＝ex·f(x)＋ex·f′(x)－ex＝ex[f(x)＋f′(x)]－ex>ex－ex＝0，所以g(x)＝ex·f(x)－ex为R上的增函数．又因为g(0)＝e0·f(0)－e0＝1，所以原不等式转化为g(x)>g(0)，解得x>0.答案A4．(·新课标全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是()．A．∃x0∈R，f(x0)＝0B．函数y＝f(x)的图象是中心对称图形C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(∞－，x0)上单调递减D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0解析若c＝0，则有f(0)＝0，所以A正确．函数f(x)的解析式可以通过配方的方法化为形如(x＋m)3＋n(x＋m)＋h的形式，通过平移函数图象，函数的解析式可以化为y＝x3＋nx的形式，这是一个奇函数，其图象关于坐标原点对称，故函数f(x)的图象是中心对称图形，所以B正确；由三次函数的图象可知，若x0是f(x)的极小值点，则极大值点在x0的左侧，所以函数在区间(∞－，x0)单调递减是错误的，D正确．选C.答案C5．已知f(x)是定义在(0∞，＋)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意的0
0，f(x2)>－B．f(x1)<0，f(x2)<－C．f(x1)>0，f(x2)<－D．f(x1)<0，f(x2)>－解析f′(x)＝lnx－2ax＋1，依题意知f′(x)＝0有两个不等实根x1，x2.即函数g(x)＝lnx＋1与函数h(x)＝2ax有两个不同交点x1，x2，如图由直线y＝x是曲线g(x)＝lnx＋1的切线，可知，0<2a<1，且00，当x>x2时，f′(x)<0，∴f(x2)>f(1)＝－a>－，故选D.答案D8．(·安徽卷)若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有极值点x1，x2，且f(x1)＝x1，则关于x的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同实根个数是()．A．3B．4C．5D．6解析因为函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有两个极值点x1，x2，可知关于导函数的方程f′(x)＝3x2＋2ax＋b有两个不等的实根x1，x2，则方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0有两个不等的实根，即f(x)＝x1或f(x)＝x2，原方程根的个数就是这两个方程f(x)＝x1和f(x)＝x2的不等实根的个数之和，若x1
