24.1.4圆周角圆心角、弧、弦之间的关系在同圆或等圆中，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等ABCDOABOA'B'O'圆心角、弧、弦之间的关系在同圆或等圆中，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等ABCDOABOA'B'O'请说说我们是如何给圆心角下定义的，试回答？顶点在圆心的角叫圆心角。考考你：你能仿照圆心角的定义，给下图中象∠ACB这样的角下个定义吗？顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．特征：①角的顶点在圆上.②角的两边都与圆相交.问题探讨：判断下列图形中所画的∠P是否为圆周角？并说明理由。PPPP不是是不是不是顶点不在圆上。顶点在圆上，两边和圆相交。两边不和圆相交。有一边和圆不相交。ABCO有没有圆周角？有没有圆心角？它们有什么共同的特点？它们都对着同一条弧⌒⌒⌒⌒ABCOABCOABCOABCODABCOD下列图形中，哪些图形中的圆心角∠BOC和圆周角∠A是同对一条弧。•当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC,∠ADC,∠AEC.这三个角的大小有什么关系?.BACDE生活实践E●OBDCA你能发现什么规律？AC所对的圆周角∠AECABC∠∠ADC的大小有什么关系？⌒画一个圆,再任意画一个圆周角,看一下圆心在什么位置?圆心在一边上圆心在角内圆心在角外•如图,观察圆周角∠ABC与圆心角∠AOC,它们的大小有什么关系?•说说你的想法,并与同伴交流.ABCOABCOABCO分析论证1.首先考虑一种特殊情况：当圆心(O)在圆周角(BAC)∠的一边(BA)上时,圆周角∠BAC与圆心角∠BOC的大小关系.ABCO∵OA=OC∴∠A=C∠又∠BOC=A∠＋∠C∴∠BOC=2A∠∠即A=BOC∠21分析论证你能证明第2种情况吗？ABCOD提示：作射线AO交⊙O于D。转化为第1种情况证明：由第1种情况得∠即BAC=BOC∠21∠BAD＝∠BOD21∠CAD＝∠COD21∠BAD＋∠CAD＝∠BOD＋∠COD2121分析论证你能证明第3种情况吗？证明：作射线AO交⊙O于D。由第1种情况得∠即BAC=BOC∠21∠BAD＝∠BOD21∠CAD＝∠COD21∠CAD－∠BAD＝∠COD－∠BOD2121ABCOD问题解决：综上所述：我们得到：同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半ABCOABCOABCO∠即BAC=BOC∠21生活实践E●OBDCA规律：都相等，都等于圆心角∠AOC的一半AC所对的圆周角∠AEC，∠ABC，∠ADC的大小有什么关系？⌒结论：同弧或等弧所对的圆周角相等。•当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC,ADC,AEC.∠∠这三个角的大小有什么关系?.BACDE在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。圆周角定理：ABCODEOFBACEG证明：连接OA、OB、OC、OD∵∠C=AOB∠∠G=EOF∠∠C=G∠∴∠AOB=EOF∠∴AB=EF⌒⌒1212在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对弧一定相等吗？为什么？如图,圆中∠C=∠G,那么和的大小有什么关系?为什么?EF⌒⌒AB在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等．推论：OFBACEG巩固练习：1。如图，点A,B,C,D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？ABCD12345678练一练2、如图，在⊙O中∠ABC=50°，则∠AOC等于（）A、50°；B、80°；C、90°；D、100°ACBOD3、如图，△ABC是等边三角形，动点P在圆周的劣弧AB上，且不与A、B重合，则∠BPC等（）A、30°；B、60°；C、90°；D、45°CABPB练习：5.如图，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB=___。OABCBAO.70°x4.求圆中角X的度数AO.X120°AO.X120°CCDB6、如图，△ABC的顶点A、B、C都在⊙O上，∠C＝30°，AB＝2，则⊙O的半径是。CABO解：连接OA、OB∵∠C=30°，∴∠AOB=60°又∵OA=OB，∴△AOB是等边三角形∴OA=OB=AB=2，即半径为2。2问题1：如图，AB是⊙O的直径，请问：∠C1、∠C2、∠C3的度数是。ABOC1C2C3推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。问题2：若∠C1、∠C2、∠C3是直角，那么∠AOB是。90°180°探究与思考：1。如图AB是⊙O的直径,C,D是圆上的两点,若∠ABD=40°,则∠BCD=＿＿＿＿＿.ABOCD40°50°练一练2。如图，∠A=50°，∠ABC=60BD是⊙O的直径，则∠AEB等于（）A、70°；B、110°；C、90°；D、120°ACBODEBB·AC1OC2C3归纳：定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．定理推论1:在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等推论2:半圆（或直径）所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径．推论
