化归思想在一元二次方程求解中的运用广州二中数学科周珑摘要：本文通过例子来说明化归思想在一元二次方程求解过程中的运用，并指出了化归思想方法的基本方向、基本原则，教学策略及应当注意的问题。关键词：化归思想一元二次方程的求解化归思想方法，是指研究和解决有关数学问题时，将原问题通过变换，使之转化为简单或已解决的问题，从而使原问题达到解决的方法。化归思想方法是最基本、最常用的数学思想方法，其基本方向是：化未知为已知、化复杂为简单；基本原则是化隐为显、螺旋上升、系统教学、启发诱导等。这就需要在待解决的问题和已解问题之间架起一个联系的桥梁（即知识之间的“关系键”），要求我们在学习数学的过程中，不断地构建知识结构，形成知识网络；化归思想的教学策略有：从教材中挖掘化归思想方法、在教学设计中渗透化归思想方法等。下面以化归思想在一元二次方程求解中的运用来阐述化归思想方法的基本方向、基本原则、教学策略及应当注意的问题。形如的方程称为一元二次方程。最简单、最基本的一元二次方程是（下称基本形式I），根据平方根的概念可知其解为：。这就是直接开平方法。因此，解一元二次方程的第一条线索是：将方程化成基本形式I，从而得到解。1、利用整体或换元思想，将方程化为基本形式I例1、（1）；（2）。化归分析：利用幂与乘方的运算，很快可以将（1）化成，将看做一个整体，则方程就化成基本形式I，从而故方程的解为。（2）移项即是（1）的形式，按刚才的办法立即得到解。例2、。化归分析：通过移项，并将视为整体，则方程化为基本形式I：，故从而解为。例3、。化归分析：将和视为整体，则方程已经形如基本形式I，故即或分别解这两个一元一次方程可得原方程的解为。例4、。化归分析：方程可变形为，将和视为整体，则方程已经形如基本形式I，从而容易得到解。在教学中，教师可以在完成题组训练后适时引导学生总结出这类方程的特点是：经过简单变形后能够化成两端是完全平方的基本形式I（“没有”一次项！）。2、利用完全平方公式和换元思想，对形如的一元二次方程化成基本形式I，此即配方法。例5、。化归分析：设定一个目标（化归目标），对该问题而言，需要把该方程化为我们知道如何求解的方程，即两端都是完全平方的形式（基本形式I）。教师通过启发引导，将方程依次变为：（关键步骤），，最后一个方程已经是基本形式I了，从而可解。例6、。化归分析：二次项系数不是1，可以通过除以二次项系数的办法来将该方程化为例5的情形，再按例5的方法求解。例7、。化归分析：移项，方程变为，则变成例6的情形。在教学中，教师可以在完成题组训练后适时引导学生总结出配方法的“三步曲”：（1）二次项系数化为1，即将方程化成的形式；（2）配方：配一次项系数一半的平方，这是最关键的一步；（3）整理并求解：将方程化为的形式，从而解为。总结后，再给学生适当的训练，实践证明，效果良好。注意：（1）当方程变成一元一次方程；当，可化为直接开平方法或平方差公式法求解；当可用提取公因式法求解。（2）对于一些特定的系数，用也可用十字相乘法求解。3、利用配方法，可以得到一元二次方程的求根公式，此乃公式法。当学生对具体的方程能熟练运用配方法后，再对一般的方程使用配方法，就不难推导出求根公式：。在推导的过程中有这样的一步：，顺便可以提出判别式的概念。例8、。化归分析：判别式所以方程有两不相等的实数解即。从以上的论述可以看出：遵循化复杂为简单、化生疏为熟悉、化未知为已知这样的基本化归方向，将一元二次方程的基本解法联系在一起，学生也会感到很自然，辅以适当的训练，学生的数学思维会得到发展。另一类很简单的一元二次方程形如：（下称基本形式II），其解为。因此，解一元二次方程的第二条线索是：利用分解因式，将方程化成上述的基本形式II的形式，从而得到方程的解，此乃分解因式法。而分解因式在初中阶段主要有提取公因式法、平方差公式法、完全平方公式法、十字相乘法等（注十字相乘法虽然课本中未有涉及，但在教学中经常会补充讲解）。将一般的一元二次方程化成基本形式II，其实是将一元二次方程化成两个一元一...
