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立体几何专题2015(答案1)VIP免费

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立体几何专题2015(答案一)一、基础知识复习:(1)设点建系(2)求法向量二、大题考点定位:(1)平行垂直的证明;(2)利用空间向量求角三、热身练习:1.如图,长方体中,,,,点,分别在,上,.过点,的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由);(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.A1AB1BD1DC1CFEHGM【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ).1【考点定位】1、直线和平面平行的性质;2、直线和平面所成的角.2.如图,在直三棱柱ABC−A1B1C1中,已知AC⊥BC,BC=CC1,设的中点为,.求证:(1);(2).【答案】(1)详见解析(2)详见解析【解析】试题分析(1)由三棱锥性质知侧面为平行四边形,因此点为的中点,从而由三角形中位线性2又因为,平面,平面,,所以平面.又因为平面,所以.因为,所以矩形是正方形,因此.因为,平面,,所以平面.又因为平面,所以.【考点定位】线面平行判定定理,线面垂直判定定理四、经典题型:例题:(本题满分12分)如图,四边形中(图1),是的中点,,,将(图1)沿直线折起,使二面角为(如图2)(1)求证:平面;3=图5(2)求直线与平面所成角的正弦值.证明:如图4,取BD中点M,连接AM,ME.因为AB=AD=,所以AM⊥BD,因为DB=2,DC=1,BC=,满足:DB2+DC2=BC2,所以△BCD是以BC为斜边的直角三角形,BD⊥DC,因为E是BC的中点,所以ME为△BCD的中位线,ME∥,ME⊥BD,ME=(2分)∠AME是二面角A-BD-C的平面角,=°.,且AM、ME是平面AME内两条相交于点M的直线,,平面AEM,.…………………(4分),,为等腰直角三角形,,在△AME中,由余弦定理得:,.………(6分)(Ⅱ)如图5,以M为原点,MB所在直线为x轴,ME所在直线为y轴,平行于EA的直线为z轴,建立空间直角坐标系,…………………(7分)则由(Ⅰ)及已知条件可知B(1,0,0),,,D,C.则……(8分)设平面ACD的法向量为=,则令则z=-2,…(10分)记与平面所成的角为,4则.………………(12分)练习:1.【2015高考天津,理17】(本小题满分13分)如图,在四棱柱中,侧棱,,,,且点M和N分别为的中点.(I)求证:平面;(II)求二面角的正弦值;(III)设为棱上的点,若直线和平面所成角的正弦值为,求线段的长【答案】(I)见解析;(II);(III).NMC1B1A1DABCD1【解析】如图,以为原点建立空间直角坐标系,依题意可得,又因为分别为和的中点,得.(I)证明:依题意,可得为平面的一个法向量,,由此可得,,又因为直线平面,所以平面5(II),设为平面的法向量,则,即,不妨设,可得,设为平面的一个法向量,则,又,得,不妨设,可得【考点定位】直线和平面平行和垂直的判定与性质,二面角、直线与平面所成的角,空间向量的应用.2.【2015高考陕西,理18】(本小题满分12分)如图,在直角梯形中,,,,,是的中点,是与的交点.将沿折起到的位置,如图.6(I)证明:平面;(II)若平面平面,求平面与平面夹角的余弦值.【答案】(I)证明见解析;(II).(II)由已知,平面平面,又由(I)知,,所以为二面角的平面角,所以.如图,以为原点,建立空间直角坐标系,因为,所以得,.设平面的法向量,平面的法向量,平面与平面夹角为,则,得,取,7,得,取,从而,即平面与平面夹角的余弦值为.考点:1、线面垂直;2、二面角;3、空间直角坐标系;4、空间向量在立体几何中的应用.3.【2015高考湖南,理19】如图,已知四棱台上、下底面分别是边长为3和6的正方形,,且底面,点,分别在棱,BC上.(1)若P是的中点,证明:;(2)若平面,二面角的余弦值为,求四面体的体积.【答案】(1)详见解析;(2)24.【解析】试题分析:(1)建立空间直角坐标系,求得相关点的坐标可知问题等价于证明(2)根据条件,二面角P-QD-A的余弦值为,利用空间向量可将四面体ADPQ视为ΔADQ为底面的三棱锥P−ADQ,其高h=4,从而求解试题解析:由题设知,,,两两垂直,以为坐标原点,AB,AD,所在直8∴cos<⃗n1,⃗n2>=,而二面角P−QD−A的余弦值为,因此,解得m=4,或者m=8(舍去),此时Q(6,4,0),设,而,由此得点P(0,6−3λ,6λ),, PQ//平面,且平面的一个法向量是9,∴...

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