立体几何专题2015（答案1）VIP专享VIP免费

立体几何专题2015（答案一）一、基础知识复习：（1）设点建系（2）求法向量二、大题考点定位：（1）平行垂直的证明；（2）利用空间向量求角三、热身练习：1.如图，长方体中,，，，点，分别在，上，．过点，的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．A1AB1BD1DC1CFEHGM【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）．1【考点定位】1、直线和平面平行的性质；2、直线和平面所成的角．2.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设的中点为，.求证：（1）；（2）.【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】试题分析（1）由三棱锥性质知侧面为平行四边形,因此点为的中点，从而由三角形中位线性2又因为，平面，平面，，所以平面．又因为平面，所以．因为，所以矩形是正方形，因此．因为，平面，，所以平面．又因为平面，所以．【考点定位】线面平行判定定理，线面垂直判定定理四、经典题型：例题:（本题满分12分）如图，四边形中（图1），是的中点，，，将（图1）沿直线折起，使二面角为（如图2）（1）求证：平面；3＝图5（2）求直线与平面所成角的正弦值.证明：如图4，取BD中点M，连接AM，ME.因为AB=AD=，所以AM⊥BD，因为DB=2，DC=1，BC=，满足：DB2+DC2=BC2，所以△BCD是以BC为斜边的直角三角形，BD⊥DC，因为E是BC的中点，所以ME为△BCD的中位线，ME∥，ME⊥BD，ME=（2分）∠AME是二面角A-BD-C的平面角，=°.，且AM、ME是平面AME内两条相交于点M的直线，，平面AEM，.…………………（4分），，为等腰直角三角形，，在△AME中，由余弦定理得：，.………（6分）（Ⅱ）如图5，以M为原点，MB所在直线为x轴，ME所在直线为y轴，平行于EA的直线为z轴，建立空间直角坐标系，…………………（7分）则由（Ⅰ）及已知条件可知B(1，0，0)，，，D，C.则……（8分）设平面ACD的法向量为=，则令则z=-2，…（10分）记与平面所成的角为，4则.………………（12分）练习：1.【2015高考天津，理17】（本小题满分13分）如图，在四棱柱中，侧棱,,,,且点M和N分别为的中点.(I)求证：平面；(II)求二面角的正弦值；(III)设为棱上的点，若直线和平面所成角的正弦值为，求线段的长【答案】(I)见解析；(II)；(III).NMC1B1A1DABCD1【解析】如图，以为原点建立空间直角坐标系，依题意可得，又因为分别为和的中点，得.(I)证明：依题意，可得为平面的一个法向量，，由此可得，，又因为直线平面，所以平面5(II)，设为平面的法向量，则，即，不妨设，可得，设为平面的一个法向量，则，又，得，不妨设，可得【考点定位】直线和平面平行和垂直的判定与性质，二面角、直线与平面所成的角，空间向量的应用.2.【2015高考陕西，理18】（本小题满分12分）如图，在直角梯形中，，，，，是的中点，是与的交点．将沿折起到的位置，如图．6（I）证明：平面；（II）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值．【答案】（I）证明见解析；（II）．(II)由已知，平面平面，又由（I）知，，所以为二面角的平面角，所以.如图，以为原点，建立空间直角坐标系，因为，所以得，.设平面的法向量，平面的法向量，平面与平面夹角为，则，得，取，7，得，取，从而，即平面与平面夹角的余弦值为.考点：1、线面垂直；2、二面角；3、空间直角坐标系；4、空间向量在立体几何中的应用.3.【2015高考湖南，理19】如图，已知四棱台上、下底面分别是边长为3和6的正方形，，且底面，点，分别在棱，BC上.（1）若P是的中点，证明：；（2）若平面，二面角的余弦值为，求四面体的体积.【答案】（1）详见解析；（2）24.【解析】试题分析：（1）建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标可知问题等价于证明（2）根据条件，二面角P-QD-A的余弦值为，利用空间向量可将四面体ADPQ视为ΔADQ为底面的三棱锥P−ADQ，其高h=4，从而求解试题解析：由题设知，，，两两垂直，以为坐标原点，AB，AD，所在直8∴cos<⃗n1,⃗n2>=，而二面角P−QD−A的余弦值为，因此，解得m=4，或者m=8（舍去），此时Q(6,4,0)，设，而，由此得点P(0,6−3λ,6λ)，， PQ//平面，且平面的一个法向量是9，∴...