1.2.3组合（二）应用举例复习回顾(1)(2)(1)!mmnnmmAnnnnmCAm!!()!mnnCmnm01.nC我们规定：1.组合的概念2.组合数的公式3.组合数的性质-11(1)(2)mnmmmmnnnnnCCCCC练习：(1)计算①C13＋C23＋C34＋C45＋C56；②C55＋C56＋C57＋C58＋C59＋C510；(2)计算C198201＋C196200＋C197200.214624202C例131001C161700解：（）12298(2)9506CC直接法间接法题型一有限制条件的组合问题例2变式：抽取的3件中至多1件是次品，抽法有多少种？（只需列出式子，不用计算结果）例2有编号为1,2,3,4的4个盒子和4个不球，把小球全部放入盒内，问：(1)共有多少种做法？(2)恰有一个盒子不放球，有多少种放法？(3)恰有一个盒内放2个球，有多少种放法？(4)恰有两个盒子不放球，有多少种放法？解析(1)一个球一个球的放到盒子里去，每只球都可有4种独立的放法，由分步乘法计数原理知，放法共有44＝256(种)．(2)为保证“恰有一个盒子不放球”，先从四个盒子中任意拿出去1个，即将4个球分成2,1,1的三组，有C24种分法；然后再从三个盒子中选一个放两个球，其余两个球，两个盒子，全排列即可．由分步乘法计数原理知，共有放法C14·C24·C13·A22＝144(种)．例2有编号为1,2,3,4的4个盒子和4个不球，把小球全部放入盒内，问：(1)共有多少种做法？(2)恰有一个盒子不放球，有多少种放法？(3)恰有一个盒内放2个球，有多少种放法？(4)恰有两个盒子不放球，有多少种放法？(3)“恰有一个盒子内放2个球”，即另外的三个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，即另外三个盒子中恰有一个空盒．因此，“恰有一个盒子放2球”与“恰有一个盒子不放球”是一回事．故也有144种放法．例2有编号为1,2,3,4的4个盒子和4个不球，把小球全部放入盒内，问：(1)共有多少种做法？(2)恰有一个盒子不放球，有多少种放法？(3)恰有一个盒内放2个球，有多少种放法？(4)恰有两个盒子不放球，有多少种放法？(4)先从四个盒子中任取两个有C24种，问题转化为：“4个球，两个盒子，每盒必放球，有几种放法？”从放球数目看，可分为(3,1)，(2,2)两类．第一类：可从4个球中先选3个，然后放入指定的一个盒子中即可，有C34·C12种放法；第二类：有C24种放法．因此共有C34·C12＋C24＝14(种)．由分步乘法计数原理得“恰有两个盒子不放球”的放法有C24·14＝84(种)．题型二与几何问题有关的组合问题例3(1)四面体的一个顶点为A，从其他顶点和各棱中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，有多少种不同的取法？解析：(1)(直接法)如图，含顶点A的四面体的3个面上，除点A外都有5个点，从中取出3点必与点A共面共有3C35种取法；含顶点A的三条棱上各有三个点，它们与所对的棱的中点共面，共有3种取法．根据分类计数原理，与顶点A共面三点的取法有3C35＋3＝33种．例3(2)四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，有多少种不同的取法．(2)(间接法)如图，从10个点中取4个点的取法有C410种，除去4点共面的取法种数可以得到结果．从四面体同一个面上的6个点取出的4点必定共面．有4C46＝60(种)，四面体的每一棱上3点与相对棱中点共面，共有6种共面情况，从6条棱的中点中取4个点时有3种共面情形(对棱中点连线两两相交且互相平分)，故4点不共面的取法为：C410－(60＋6＋3)＝141(种)．方法点拨利用组合知识解决与几何有关的问题时要注意：(1)将已知条件中的元素的特征搞清，是用直接法还是用间接法；(2)要使用分类方法，至于怎样确定分类标准，要具体问题具体分析；(3)常用间接法解决该类问题．思考1.在如图所示的四棱锥中，顶点为P，从其他的顶点和各棱的中点中取3个，使它们和点P在同一个平面内，不同的取法种数为___________.思考2在∠MON的边OM上有5个异于O点的点，ON上有4个异于O点的点，以这10个点(含O)为顶点，可以得到多少个三角形？解析方法一(直接法)分几种情况考虑：以O为顶点的三角形中，另外两个顶点必须分别在OM、ON上，所以有C15·C14个；O不为顶点的三角形中，两个顶点在OM上，一个顶点在ON上的有C25·C14个，一个顶点在OM上，两个顶点在ON上的有C15·C24个．因为这是分类问题，所以用分类计数原理，共有C15·C14＋...
