几何变换思想──小学数学思想方法的梳理王永春课程教材研究所六、几何变换思想变换是数学中一个带有普遍性的概念，代数中有数与式的恒等变换、几何中有图形的变换。在初等几何中，图形变换是一种重要的思想方法，它以运动变化的观点来处理孤立静止的几何问题，往往在解决问题的过程中能够收到意想不到的效果。1．初等几何变换的概念。初等几何变换是关于平面图形在同一个平面内的变换，在中小学教材中出现的相似变换、合同变换等都属于初等几何变换。合同变换实际上就是相似比为1的相似变换，是特殊的相似变换。合同变换也叫保距变换，分为平移、旋转和反射（轴对称）变换等。（1）平移变换。将平面上任一点P变换到P′，使得：（1）射线PP′的方向一定；（2）线段PP′的长度一定，则称这种变换为平移变换。也就是说一个图形与经过平移变换后的图形上的任意一对对应点的连线相互平行且相等。平移变换有以下一些性质：①把图形变为与之全等的图形，因而面积和周长不变。②在平移变换下两点之间的方向保持不变。如任意两点A和B，变换后的对应点为A′和B′，则有AB∥A′B′。③在平移变换下两点之间的距离保持不变。如任意两点A和B，变换后的对应点为A′和B′，则有AB＝A′B′。在解初等几何问题时，常利用平移变换使分散的条件集中在一起，具有更紧凑的位置关系或变换成更简单的基本图形。（2）旋转变换。在同一平面内，使原点O变换到它自身，其他任何点X变换到X′，使得：（1）OX′=OX；（2）∠XOX′=θ（定角）；则称这样的变换为旋转变换。O称为旋转中心，定角θ为旋转角。当θ>0时，为逆时针方向旋转；当θ<0时，为顺时针方向旋转。当θ等于平角时，旋转变换就是中心对称。通俗地说就是一个图形围绕一个定点在不变形的情况下转动一个角度的运动，就是旋转。在旋转变换下，图形的方位可能有变化。旋转变换有以下一些性质：①把图形变为与之全等的图形，因而面积和周长不变。②在旋转变换下，任意两点A和B，变换后的对应点为A′和B′，则有直线AB和直线A′B′所成的角等于θ。③在旋转变换下，任意两点A和B，变换后的对应点为A′和B′，则有AB＝A′B′。在解决几何问题时，旋转的作用是使原有图形的性质得以保持，但通过改变其位置，组合成新的图形，便于计算和证明。（3）反射变换。在同一平面内，若存在一条定直线Ｌ，使对于平面上的任一点P及其对应点P′，其连线PP′的中垂线都是Ｌ，则称这种变换为反射变换，也就是常说的轴对称，定直线Ｌ称为对称轴，也叫反射轴。轴对称有如下性质：①把图形变为与之全等的图形，因而面积和周长不变。②在反射变换下，任意两点A和B，变换后的对应点为A′和B′，则有直线AB和直线A′B′所成的角的平分线为Ｌ。③两点之间的距离保持不变，任意两点A和B，变换后的对应点为A′和B′，则有AB＝A′B′。如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称。轴对称变换和轴对称图形是两个不同的概念，前者是指图形之间的关系或折叠运动，后者是指一个图形。中小学数学中的很多图形都是轴对称图形，利用这些图形的轴对称性质，可以帮助我们解决一些计算和证明的几何问题。（4）相似变换。在同一平面内，图形中的任意两点A、B，变换后的对应点为A′、B′，也就是任一线段AB变换成A′B′，总有A′B′＝K·AB（K>0，且为常数），则称为相似变换。通俗地说就是一个图形按照一定比例放大或缩小，图形的形状不变。其中的K称为相似比或相似系数，当K＝1时，即为合同变换。相似变换有以下一些性质：①两个图形的周长的比等于相似比。②两个图形的面积的比等于相似比的平方。③两条直线的夹角保持不变。生活中的许多现象都渗透着相似变换的思想，如物体和图形在光线下的投影照片和图片的放大或缩小、零件的图纸等等，因而利用相似变换可以解决生活中的一些几何问题。2．几何变换思想的重要意义。课程改革以来，几何的教学已经由传统的注重图形的性质，周长、面积和体积等的计算、演绎推理能力转变为培养空间观念、计算能力、推理...
