直线与平面垂直练习题一、解答题1.如图，在四棱锥S-ABCD中，SA丄平面ABCD，底面ABCD为直角梯形,ADIIBC，ZABC=90SA二AB二1,BC二迈.1.求证：BA丄平面SAD；2.求异面直线AD与SC所成角的大小.2.如图，在三棱锥P-ABC中，PA丄AC,PC丄BC,M为PB的中点，D为AB的中点，且5AMB为正三角形.(1)求证：BC丄平面PAC；(2)若PA=2BC，三棱锥P-ABC的体积为1,求点B到平面DCM的距离.3.如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，上BAD=60。，N是PB的中点，E为AD的中点，过A,D,N的平面交PC于点M.(1)求证：ENII平面PDC；(2)求证：BC丄平面PEB；(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.4.如图，在三棱锥P-ABC中,平面PAB丄平面ABC,AB=6,BC二2J3,AC=2J6,D为线段AB上的点，且AD=2DB,PD丄AC.1.求证:PD丄平面ABC；n2.若"AB=—，求点B到平面PAC的距离.5•如图所示，在三棱锥A-BCD中，O,E分别是BD,BC的中点,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=y/2.1.求证：AO丄平面BCD；2.求异面直线AB与CD所成角的余弦值；6.如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=2迈,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中占I八、、•2.若点M在棱BC上，且MC=2MB,求点C至呼面POM的距离.7.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是菱形，ZBAD=60°,PA丄平面ABCD，E是PC的中点，F是AB的中点.(2)求证：BE//平面PDF.&如图，在三棱柱ABC一ABC中，AA=AB,ABC=90°，侧面AABB丄底面ABC.1111112.若AC=5,BC=3,ZAAB=60°,求三棱柱ABC—ABC的体积.11119.直三棱柱ABC—ABC中，AC二BC二AA二4,AC丄BC.11111.证明：PO丄平面ABC；(1)求证：DF丄平面PAB1.求证：AB丄平面ABC；1.证明：AC丄平面ABC;ii2.设四边形AACC的两条对角线的交点为D,求三棱锥C-ABD的体积.iiii10.如图,D是AC的中点，四边形BDEF是菱形，平面BDEF丄平面ABC,ZFBD=60。,AB丄BC，AB二BC二.1•若点M是线段的中点，证明：BF丄平面AMC;2.求六面体ABCDE的体积.11.如图,三角形△ABC中,AC=BC=AB,ABED是边长为1的正方形，平面ABED丄平面ABC，若G,F分别是EC,BD的中点.1.求证：GF//平面ABC；2.求证：AC丄平面EBC；3.求几何体ADEBC的体积.二、计算题_12.如图，在直三棱柱ABC-ABC中，二2J3,AC=2AB=4,ABAC=60。2.求三棱锥C1-ABB的体积。参考答案一、解答题1.答案：1.证明：TSA丄平面ABCD,ADu平面ABCD，.:SA丄BA又:ZABC=90。,AD//BCBA丄AD,又:SAcAD=A,・•・BA丄面SAD2.•:AD//BC,・••异面直线AD与SC所成角是ZBCS或其补角，•:BC丄SA,BC丄BA,且SAcBA=A,BC丄平面SAB,SBu平面SAB，.:BC丄SB在Rt△SAB中，•：SB2=SA2+AB2=2,BC=、辽,・•・ABCS=45。,・••异面直线AD与SC所成角的大小为45。2.答案：（1）证明：在正△AMB中，D是AB的中点，所以⑷丄AB.因为M是pB的中点，D是AB的中点，所以MD//PA,故pA丄AB.又PA丄AC,ABcAC=A,AB,ACu平面ABC,所以PA丄平面ABC.因为BCu平面ABC,所以PA丄BC.又PC丄BC,PAcPC=P,PA,PCu平面PAC,(2)设AB=x,PB二2’3x，BC二宇'AC所以BC丄平面PAC.三棱锥P-ABC的体积为V—1-S-PA—-x3—1，得x—23ABC8设点B到平面DCM的距离为h因为△AMB为正三角形，所以AB=MB=2.因为BC—J3,BC丄AC，所以AC—1.AB=空,OE=1DC=1222•・・OM是RtAAOC斜边AC上的中线・・.OM=1AC=12/.cosZOEM=解析：6.答案：1.证明：连接BO,由于AB=BC,O为AC的中点，则BO丄AC。23由勾股定理得：BO2+OC2二BC2,1—而OC二—AC二2,BC二2迈,所以BO=2在APAC中，O为AC中点，PA=PC=AC=4,所以PO丄AC,由勾股定理得PO=\PA1-AO2=J16-4=2.J3。由于BO-2,PB=4,则PB2=PO2+BO2,故APOB是直角三角形，且PO丄BO由于BOp|AC=O，则PO丄平面ABC。2.连接OM，过M作MD丄AC于点D，因为PO丄平面ABC所以PO丄MD，又MD丄AC，所以MD丄平面PAC。由于BC=2、辽，MC=2MB，则MC=2BC=空。33在△ABC中，由于OB=OC=2，BC=2、辽，则AOBC是等腰直角三角形，且ZC=45°。4则MD=DC=MCcosC=§，则OD=OC-DC=2-4=233在Rt△MOD中，由勾股定理有：2珥OM=、：MD2+OD2=2—。3由于PO丄OM，则S=-OM-PO=1x兰5x2込=兰15△POM2223111而V=—PO-S=PO•—xCO-DMP-MOC3△MOC323―PMOCS△POM设点C到平面POM的距离为d。1,则V二V二一d-SP-MOCC-POM3△POM83丁=4/52\：15~5~3即点C到平面POM的距离为专。•・•在...
