知识回顾:一般三角形全等的条件:1.定义(重合)法;2.SSS;3.SAS;4.ASA;5.AAS.直角三角形全等特有的条件:HL.包括直角三角形不包括其它形状的三角形解题中常用的4种方法不利用工具,请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法?AOBC再打开纸片,看再打开纸片,看看折痕与这个角有何关系?看折痕与这个角有何关系?(对折)1、如图,是一个角平分仪,其中AB=AD,BC=DC。将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线,你能说明它的道理吗?ADBCE如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角,又该怎么办呢?2、证明:在△ACD和△ACB中AD=AB(已知)DC=BC(已知)CA=CA(公共边)∴△ACDACB≌△(SSS)∴∠CAD=CAB∠(全等三角形的对应边相等)∴AC平分∠DAB(角平分线的定义)ADBCE根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线?(不用角平分仪或量角器)OABCENOMCENM1〉平分平角∠AOB2〉通过上面的步骤,得到射线OC以后,把它反向延长得到直线CD,直线CD与直线AB是什么关系?3〉结论:作平角的平分线即可平分平角,由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法。ABOCD2.分别以M,N为圆心.大于MN的长为半径作弧.两弧在∠AOB的内部交于C.21如何用尺规作角的平分线?如何用尺规作角的平分线?AABBOOMMNNCC作法:1.以O为圆心,适当长为半径作弧,交OA于M,交OBN于.3.作射线OC.则射线OC即为所求.探究角平分线的性质(1)将∠AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论?(2)角的平分线上的点到角的两边的距离相等.证明:∵OC平分∠AOB(已知)∴∠1=2∠(角平分线的定义)∵PDOA⊥,PEOB⊥(已知)∴∠PDO=PEO∠(垂直的定义)在△PDO和△PEO中∠PDO=PEO∠(已证)∠1=2∠(已证)OP=OP(公共边)∴△PDOPEO≌△(AAS)∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)PAOBCED12已知:如图,OC平分∠AOB,点P在OC上,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E求证:PD=PE探究角平分线的性质思考:要在S区建一个集贸市场,使它到公路,铁路距离相等且离公路,铁路的交叉处500米,应建在何处?(比例尺1:20000)SO公路铁路随堂练习随堂练习BOAC·DPE1.如图,OC是∠AOB的平分线,∵∴PD=PEPDOA⊥,PEOB⊥动脑筋动脑筋2.在RtABC△中,BD平分∠ABC,DE⊥AB于E,则:⑴图中相等的线段有哪些?相等的角呢?⑵哪条线段与DE相等?为什么?⑶若AB=10,BC=8,AC=6,求BE,AE的长和△AED的周长。EDCBA练一练在△ABC中,ACBC⊥,AD为∠BAC的平分线,DEAB⊥,AB=7㎝,AC=3㎝,求BE的长。EDCBA做一做驶向胜利的彼岸已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.求证:EB=FC.老师期望:做完题目后,一定要“悟”到点东西,纳入到自己的认知结构中去.BAEDCF例已知:如图,△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.求证:点P到三边AB、BC、CA的距离相等.•证明:过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA,垂足为D、E、F•∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上(已知)•∴PD=PE(在角平分线上的点到角的两边的距离相等)•同理PE=PF.•∴PD=PE=PF.•即点P到边AB、BC、CA的距离相等DEFABCPMN回味无穷定理角平分线上的点到这个角的两边距离相等.∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知)∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).用尺规作角的平分线.小结拓展OCB1A2PDE如图:在△ABC中,∠C=90°AD是∠BAC的平分线,DEAB⊥于E,F在AC上,BD=DF;求证:CF=EBACDEBF分析:要证CF=EB,首先我们想到的是要证它们所在的两个三角形全等,即RtCDF△≌RtEDB.△现已有一个条件BD=DF(斜边相等),还需要我们找什么条件DC=DE(因为角的平分线的性质)再用HL证明.试试自己写证明。你一定行!