首页上一页下一页末页结束数学第七节立体几何中的空间向量方法1．两条异面直线所成角的求法设两条异面直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为θ，则cosφ＝|cosθ|＝(其中φ为异面直线a，b所成的角)．第七节立体几何中的空间向量方法|a·b||a||b|首页上一页下一页末页结束数学第七节立体几何中的空间向量方法2．直线和平面所成的角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sinφ＝|cosθ|＝.|n·e||n||e|首页上一页下一页末页结束数学第七节立体几何中的空间向量方法3．求二面角的大小(1)如图①，AB，CD是二面角αlβ的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝．〈AB�，CD�〉(2)如图②③，n1，n2分别是二面角αlβ的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ＝．〈n1，n2〉(或π－〈n1，n2〉)首页上一页下一页末页结束数学第七节立体几何中的空间向量方法1．求异面直线所成角时，易求出余弦值为负值而盲目得出答案而忽视了夹角为0，π2.2．求直线与平面所成角时，注意求出夹角的余弦值的绝对值应为线面角的正弦值．首页上一页下一页末页结束数学第七节立体几何中的空间向量方法3．利用平面的法向量求二面角的大小时，二面角是锐角或钝角由图形决定．由图形知二面角是锐角时cosθ＝|n1·n2||n1||n2|；由图形知二面角是钝角时，cosθ＝－|n1·n2||n1||n2|.当图形不能确定时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等(一个平面的法向量指向二面角的内部，另一个平面的法向量指向二面角的外部)，还是互补(两个法向量同时指向二面角的内部或外部)，这是利用向量求二面角的难点、易错点．首页上一页下一页末页结束数学第七节立体几何中的空间向量方法[试一试]1．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为()A．45°B．135°C．45°或135°D．90°解析：cos〈m，n〉＝m·n|m||n|＝11·2＝22，即〈m，n〉＝45°.∴两平面所成二面角为45°或180°－45°＝135°.答案：C首页上一页下一页末页结束数学第七节立体几何中的空间向量方法2．(2013·石家庄模拟)如图，在正方形ABCD中，EF∥AB，若沿EF将正方形折成一个二面角后，AE∶ED∶AD＝1∶1∶2，则AF与CE所成角的余弦值为________．首页上一页下一页末页结束数学第七节立体几何中的空间向量方法解析：如图建立空间直角坐标系，设AB＝EF＝CD＝2， AE∶DE∶AD＝1∶1∶2，则E(0,0,0)，A(1,0,0)，F(0,2,0)，C(0,2,1)，∴AF�＝(－1,2,0)，EC�＝(0,2,1)，∴cos〈AF�，EC�〉＝45，∴AF与CE所成角的余弦值为45.答案：45首页上一页下一页末页结束数学第七节立体几何中的空间向量方法1．求两异面直线a，b的夹角θ，须求出它们的方向向量a，b的夹角，则cosθ＝|cos〈a，b〉|.2．求直线l与平面α所成的角θ可先求出平面α的法向量n与直线l的方向向量a的夹角．则sinθ＝|cos〈n，a〉|.3．求二面角αlβ的大小θ，可先求出两个平面的法向量n1，n2所成的角，则θ＝〈n1，n2〉或π－〈n1，n2〉．首页上一页下一页末页结束数学第七节立体几何中的空间向量方法1．已知四棱锥PABCD的底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，且AC⊥BD，AC与BD交于O，PO⊥底面ABCD，PO＝2，AB＝2CD＝22，E，F分别是AB，AP的中点．则二面角FOEA的余弦值为________．解析：以OB，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz，由题知，OA＝OB＝2，OC＝OD＝1，A(0－2,0)，B(2,0,0)，C(0,1,0)，D(－1,0,0)，P(0,0,2)，OE�＝(1，－1,0)，OF�＝(0，－1,1)，[练一练]首页上一页下一页末页结束数学第七节立体几何中的空间向量方法设平面OEF的法向量为m＝(x，y，z)，则m·OE�＝0，m·OF�＝0，令x＝1，可得m＝(1,1,1)．易知平面OAE的一个法向量为n＝(0,0,1)，设二面角FOEA为α，则cosα＝m·n|m||n|＝33.答案：33首页上一页下一页末页结束数学第七节立体几何中的空间向量方法2．如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，AB＝1，BM⊥PD于点M.则直线CD与...
