一道课堂练习题的教学反思——关于添加辅助线的误区及引导学生走出误区的对策作者简介：闻世普，男，1962年出生，1978年参加工作。数学本科毕业。本人撰写的《平面几何入门教学的思考》、《论证教学与基本思维训练》，《命题教学与思维流程——思维流程教学模式初探》，在广州市教育局为表彰广州市中小学、中等职业学校第二阶段教学设计与实施活动的优秀成果的活动中，荣获二等奖、三等奖。内容摘要：笔者在一节几何课的教学过程中，遇到学生添加辅助线出现一种很典型的错误，课后作出一些理性分析，展开反思：通过列举几例添加辅助线的误区，提出引导学生走出误区的对策，以企达到提高学生论证思维能力的目的。关键词：辅助线误区对策一、案例（课堂教学片段）：笔者在讲授华师大版八年级（下）角平分线的性质后，布置学生完成课本的一道练习题：如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F。求证：点F在∠DAE的平分线上。要求：①限时3分钟；②书写完整的证明过程；③自愿上黑板演排。方法：师生互动，合作交流。2分钟后，有2位学生上黑板演排12分钟后，有2名学生自觉上黑板演排。（）：甲同学（优秀生）板书：老师点评证明：作FI⊥BC于I，FG⊥AD于G，FH⊥AE于H， FC，FB分别是∠BCE，∠DBC的平分线，∴FI=FH，FI=FG（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）∴FH=FG（等量代换）又FG⊥AD于G，FH⊥AE于E，∴点F在∠EAD的平分线上。（到角两边的距离相等的点在这个角平分线上）。用词规范定理理解透彻，理由充分，几何语言表达简洁、准确。作辅助线的语言简洁、准确。乙同学（中等生）板书：证明：在△AFH和△AFG中， ∠EAF=∠DAF∠FHA=∠FGAAF=AF∴Rt△AFH≌Rt△AFG（AAS）∴FH=FG∴点F在∠DAE的平分线上。（到角两边距离相等的点在这个角平分线上）二、教学反思（一）对上面练习题添加辅助线的理性分析：我们知道，逻辑论证的方法常有从结论入手“执果索因”的分析法以及从条件入手“执因索果”的综合法。如果说按“执果索因”的思维方式，那么可以这样思考：要论证“点F在∠DAE的平分线上”，可以连结AF，然后证明∠EAF=∠DAF，对于这道题这种思路是走不通的。再换一个思路：作辅助线FG⊥AD于G，FH⊥AE于H，再考虑FH=FG，要证明FH=FG，结合条件就要再作辅助线FI⊥BC于I。如果说按“执因索果”的思维方式，那么可以这样思考：由已知条件FC，FB分别是∠BCE，∠DBC的平分线，想到点F到∠BCE两边和到∠DBC两边的距离相等，于是就想到添加辅助线，作FI⊥BC于I，FG⊥AD于G，FH⊥AE于H。甲同学对垂线的概念，角平分线的性质理解很透彻，作辅助线的语言简洁、准确，为后面“一气呵成”的论证创造了条件。乙同学看到点F好象在∠DAE的平分线上，于是他干脆作射线AF，并且已把它当作∠DAE的平分线，为了写出证明过程，所以他糊里糊涂地罗列几个关系式作为论证理由，通过三角形全等推导出∠EAF=∠DAF，从而得到结论：点F在∠EAD的平分线上。这实际上犯了“因为AF是∠EAD的平分线，所以AF是∠EAD的平分线”的错误。这个错误一开始就是由“作∠DAE的平分线AF”引起的，一开始他就踏进了“添加辅助线的误区”。通过这个练习题的教学，说明“添加辅助线”对于几何逻辑论证，至关重要，上面两个学生2同学们一片热烈掌声！证明过程无可挑剔！！作∠EAD的平分线AF，FH⊥AE，FG⊥AD，师：这样添加辅助线对吗？学生1：不对，因为还不知道点F是否在∠DAE的平分线上。学生2：不对，如果可以的话，下面的证明过程就是多余的。师：回答得很有道理。题目是要求我们根据已知条件，用逻辑推理的方法推导出结论“点F在∠DAE的角平分线上”,而并不是作∠DAE的角平分线使它经过点F。另外几何语言：FH⊥AE，FG⊥AD也不规范，应该交代垂足。由于辅助线出错，导致全题出错。添加辅助线的方法不同，效果就完全不同。正确的辅助线给人带来“豁然明朗”，错误的辅助线使人“步入歧途”。(二)添加辅助线的误区。关于添加辅助线的误区，这里略举几例：1、疏忽了添加辅助线应考虑“可行性”——违背有关公理、定理，法则。例1如图，已知⊙O的直径AB=，点B到弦AC的距离为，求∠BAC的度数2、添加的辅助线具有多...
