等差数列一、知识点：1、数列：按一定顺序排成的一列数叫做数列。数列中的每一个数都叫做项，第一项称为首项，最后一项称为末项。数列中共有的项的个数叫做项数。2、等差数列与公差：一个数列，从第二项起，每一项与与它前一项的差都相等，这样的数列的叫做等差数列，其中相邻两项的差叫做公差。3、常用公式等差数列的总和=（首项+末项）项数2项数=（末项-首项）公差+1末项=首项+公差（项数-1）首项=末项-公差（项数-1）公差=（末项-首项）（项数-1）等差数列（奇数个数）的总和=中间项项数二、典例剖析：例（1）在数列3、6、9……，201中，共有多少数？如果继续写下去，第201个数是多少？分析：（1）因为在这个等差数列中，首项=3，末项=201，公差=3，所以根据公式：项数=（末项-首项）公差+1,便可求出。（2）根据公式：末项=首项+公差（项数-1）解：项数=（201-3）3+1=67末项=3+3（201-1）=603答：共有67个数，第201个数是603练一练：在等差数列中4、10、16、22、……中，第48项是多少？508是这个数列的第几项？答案:第48项是286，508是第85项例（2）全部三位数的和是多少？分析：：所有的三位数就是从100~999共900个数，观察100、101、102、……、998、999这一数列，发现这是一个公差为1的等差数列。要求和可以利用等差数列求和公式来解答。解：（100+999）9002=10999002=494550答：全部三位数的和是494550。练一练：求从1到2000的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差。答案:1000例（3）求自然数中被10除余1的所有两位数的和。分析一：在两位数中，被10除余1最小的是11，最大的是91。从题意可知，本题是求等差数列11、21、31、……、91的和。它的项数是9，我们可以根据求和公式来计算。解一：11+21+31+……+91=（11+91）92=459分析二：根据求和公式得出等差数列11、21、31、……91的和是459，我们可以求得这9个数的平均数是4599=51，而51恰好是这个等差数列的第五项，即中间的一项(称作中项)，由此我们又可得到S=中项n，但只能是项数是奇数时，等差数列有中项，才能用中项公式计算。解二：11+21+31+……+91=519=459答：和是459。练一练：求不超过500的所有被11整除的自然数的和。答案:11385例（4）求下列方阵中所有各数的和：1、2、3、4、……49、50；2、3、4、5、……50、51；3、4、5、6、……51、52；……49、50、51、52、……97、98；50、51、52、53、……98、99。分析一：这个方阵的每一横行（或竖行）都各是一个等差数列，可先分别求出每一横行（或竖行）数列之和，再求出这个方阵的和。解一：每一横行数列之和：第一行：（1+50）502=1275第二行：（2+51）502=1325……第四十九行：（49+98）502=3675第五十行：（50+99）502=3725方阵所有数之和：1275+1325+1375+……+3675+3725=（1275+3725）502=125000分析二：观察每一横行可以看出，从第二行起，每一行和都比前一行多50，所以可以先将第一行的和乘以50，再加上各行比第一行多出的数，这样也能求得这个方阵所有数的和。解二：（1+50）50250=6375050（1+2+3+……+49）=50【（1+49）492】=6125063750+61250=125000答：这个方阵的和是125000练一练：求下列方阵中100个数的和。0、1、2、3、……8、9；1、2、3、4、……9、10；2、3、4、5、……10、11；……9、10、11、12、……17、18。答案:900例（5）班级男生进行扳手腕比赛，每个参赛男生都要和其他参赛选手扳一次。若一共扳了105次，那么共有多少男生参加了这项比赛?分析：设共有几个选手参加比赛，分别是A1、A2、A3A4、……An。从A1开始按顺序分析比赛场次：A1必须和A2、A3、A4、……，An逐一比赛1场，共计（n-1）场；A2已和A1赛过，他只需要和A3、A4、A5、……、An各赛1场，共计（n-2）场A3已和A1A2赛过、他只需要和A4、A5、A6、……、An、各赛1场，共计（n-3）场。以此类推，最后An-1只能和An赛1场解：Sn=（n-1）+（n-2）+……+2+1=（1+n-1）×（n-1）÷2=0.5×n(n-1)（场）根据题意，Sn=105(场)，则n×（n-1）=210，因为n是正整数，通过试算法，可知15×14=210.则n=15,即共有15个男生参加了比赛。答：有15个男生参加了比赛。练一练：从1到50这50个连续自然数中，...
