直线与平面垂直的判定VIP免费

空间直线和平面空间直线和平面之直线和平面垂直的判定主要内容主要内容•直线和平面垂直的定义直线和平面垂直的定义•直线和平面垂直的判直线和平面垂直的判定定•基础知识点直线和平面垂直的定义导入：如图9-1-1，尽管随着时间的变化，影子BC的位置会移动，但是旗杆AB始终与BC垂直。图：9-1-1BACCC我们从中是否认定旗杆AB垂直于地面呢？答案是肯定的！让咱们定义：若一条直线L和一个平面α内的任意一条直线都垂直，咱们就说，直线L和一个平面α互相垂直。即：L⊥α，其中，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。•下面让咱们见识一下垂足吧！垂足•若L∥α或Lα，那么直线L不可能与平面α内的任意一条直线都垂直。由此可知，当L⊥α，直线L和平面α一定相交。交点叫做垂足。如图：9-1-2L⊥α，垂足为P点。。P图9-1-2Lα∪通过以上直线和平面垂直的定义的学习我们是否有特别的思考呢？思考：通过一点的垂面是否唯一？通过一点的垂线是否唯一？答案是肯定的！过一点的垂面的唯一性过一点的垂面的唯一性设设LL是任一平面，点是任一平面，点PP是空间任一点，则过是空间任一点，则过点点PP有且只有一个平面有且只有一个平面αα是是LL的垂面。的垂面。。P。P图9-1-3＜1＞＜2＞LL过一点的垂线的唯一性过一点的垂线的唯一性设设αα是任一平面，点是任一平面，点PP是空间任一点，则是空间任一点，则过点过点PP有且只有一条直线有且只有一条直线LL是是αα的垂线。的垂线。。P。P图9-1-3（3）（4）LLαααα理解了线面垂直的定义，那我们就来用它解决问题吧！例题1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。已知：a∥b，a⊥αα。（如图。（如图9-1-49-1-4））求证：b⊥ααabααm证明：设m是αα内的任意一条直线。内的任意一条直线。a⊥αα，ma∪故a⊥m，，又因又因a∥b，故b⊥m，mαα，，所以所以b⊥m∪故b⊥αα学一个例题我们就来归纳总结一学一个例题我们就来归纳总结一次，这样的学习才有效果哦！次，这样的学习才有效果哦！例题归纳总结：例题例题归纳总结：例题11主要用了主要用了定义法定义法来来证明线面垂直。证明线面垂直。•证明思路：设m是αα内的任意一条内的任意一条直线，只要证直线，只要证b⊥m即可。定义法是证明线面垂直的一种有效方法，那么是否还有更好的方法证明线面垂直呢重点难点！重点难点！直线和平面的判定定理如果一条直线和一个平面的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。如图所示•若L⊥b，L⊥a则L⊥αα。Lbaαα线面垂直判定定理的证明已知：mαα，nαα，m∩n=B，∪∪Ln⊥，Lm⊥。。求证：L⊥ααααnmL分析：要证L⊥αα，根据直线和平，根据直线和平面垂直的定义，只要先设面垂直的定义，只要先设gg是αα内内任一直线，再证明任一直线，再证明LLg⊥就可以了。由于m∩n=B，故先从L、g都经过B点的情况证起。B证明：设g是αα内的任意一条直线。内的任意一条直线。1.当L、g都通过点B时，在L上点B的两则分别取点A、F，使AB=BF，则由已知条件可推出m、n都是线段AF的垂直平分线。如果g与m＜或n＞重合，那么根据已知条件有Lg⊥。如果g与m＜或n＞不重合，那么在平面αα内做一条直线内做一条直线CDCD，与与直线，与与直线m、n、g分别交于C、D、E，并连结AC、FC、AD、FD、AE、FE。∵AC=FC，AD=FD，CD=CD，∴ACDFCD≌，得∠ACD=FCD∠。进而有ACEFCE≌得AE=FE。Aααmng。FCEDB∵g是AF的垂直平分线。于是L⊥g。2、当L、g不经过点B时，过点B作L、g的平行线，同理可证L⊥g。综上所述，无论L、g是否经过点B，都有L⊥g，由于gg是αα内任一直线，因而得内任一直线，因而得L⊥αα