2015届理科数学二轮专题复习立体几何（一）一、选择题1.如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()A.B.C.D.2.在空间中，已知AB＝(2,4,0)，DC＝(－1,3,0)，则异面直线AB与DC所成角θ的大小为()A．45°B．90°C．120°D．135°3．在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝AA1，则AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为()A.B.C.D.4．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝a，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A．相交B．平行C．垂直D．不能确定5．在三棱柱ABC—A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是()A．30°B．45°C．60°D．90°二、填空题6．到正方体ABCD－A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点：①有且只有1个；②有且只有2个；③有且只有3个；④有无数个．其中正确答案的序号是________．7．如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是________．8．在四面体P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，设PA＝PB＝PC＝a，则点P到平面ABC的距离为________．9．在一直角坐标系中已知A(－1,6)，B(3，－8)，现沿x轴将坐标平面折成60°的二面角，则折叠后A、B两点间的距离为________．三、解答题10．如图，在底面是矩形的四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，E，F分别是PC，PD的中点，PA＝AB＝1，BC＝2.(1)求证：EF∥平面PAB；(2)求证：平面PAD⊥平面PDC.11．如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2.E是PB的中点．(1)求证：平面EAC⊥平面PBC；(2)若二面角P－AC－E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．12.如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．(1)求证：平面PAC⊥平面PBC；(2)若AB＝2，AC＝1，PA＝1，求二面角C－PB－A的余弦值．1—5AACBC6.④7．60°8．a9．210.证明(1)以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)， E，F分别是PC，PD的中点，∴E，F，EF＝，PB＝(1,0，－1)，PD＝(0,2，－1)，AP＝(0,0,1)，AD＝(0,2,0)，DC＝(1,0,0)，AB＝(1,0,0)． EF＝－AB，∴EF∥AB，即EF∥AB，又AB⊂平面PAB，EF⊄平面PAB，∴EF∥平面PAB.(2) AP·DC＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0，AD·DC＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0，∴AP⊥DC，AD⊥DC，即AP⊥DC，AD⊥DC.又AP∩AD＝A，∴DC⊥平面PAD. DC⊂平面PDC，∴平面PAD⊥平面PDC.11.(1)证明 PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC， AB＝2，AD＝CD＝1，∴AC＝BC＝，∴AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC，又BC∩PC＝C，∴AC⊥平面PBC， AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC.(2)解如图，以C为原点，DA、CD、CP分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(1,1,0)，B(1，－1,0)．设P(0,0，a)(a＞0)，则E，－，，CA＝(1,1,0)，CP＝(0,0，a)，CE＝，－，，设m＝(b，p，m)为面PAC的法向量，则m·CA＝m·CP＝0，即，取m＝(1，－1,0)，设n＝(x，y，z)为面EAC的法向量，则n·CA＝n·CE＝0，即取x＝a，y＝－a，z＝－2，则n＝(a，－a，－2)，依题意，|cos〈m，n〉|＝＝＝，则a＝2.于是n＝(2，－2，－2)，PA＝(1,1，－2)．设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ＝|cos〈PA，n〉|＝＝，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为.12.(1)证明由AB是圆的直径，得AC⊥BC，由PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得PA⊥BC.又PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC.因为BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAC.(2)解方法一过C作CM∥AP，则CM⊥平面ABC.如图，以点C为坐标原点，分别以直线CB、CA、CM为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．在Rt△ABC中，因为AB＝2，AC＝1，所以BC＝.因为PA＝1，所以A(0,1,0)，B(，0,0)，P(0,1,1)．故CB＝(，0,0)，CP＝(0,1,1)．设平面BCP的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则所以不妨令y1＝1，则n1＝(0,1，－1)．因为AP＝(0,0,1)...
