高三数学高考第一轮复习——立体几何中的角度距离（文）人教实验A版知识精讲VIP专享VIP免费

高三数学高考第一轮复习——立体几何中的角度距离（文）人教实验A版【本讲教育信息】一.教学内容：立体几何中的角度距离二.重点、难点：1.角度（1）两条异面直线所成角（2）直线与平面所成角（3）二面角2.距离（1）作垂线（2）体积转化【典型例题】[例1]PA、PB、PC两两垂直，与PA、PB所成角为45°，60°，求与PC所成角。解：构造长方体[例2]正四棱锥S—ABCD中，AB=，SA=，M为SA中点，N为SC中点。（1）求BN，DM所成角的余弦值；（2）P、Q在SB、CA上，，求PQ与底面ABCD所成角的正切值。用心爱心专心解：（1）MEFDH为SN中点∴异面直线MD、BN所成角的余弦值为（2）过P作PH//SO交BD于H∴PH⊥面ABCD∴∠PQH为PQ与底面所成角∴[例3]SA⊥面ABC，AB⊥BC，DE在面SAC内，垂直平分SC，交SC、AC于E、D，若SA=AB=1，BC=，求二面角（1）B—SC—A的余弦值；（2）E—BD—C。解：（1）用心爱心专心面DEB∴∠DEB为二面角A—SC—B的平面角面SAC∴∠EDC为二面角C—BD—E的平面角∴ AB=SA=1AC=SC=2∴BE=1DE=CD=∴ ∴[例4]正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=1，求：（1）D到面D1AC的距离；（2）C到面AB1D1的距离；（3）M为BB1中点，M到面D1AC的距离；（4）AC1与BB1的距离解：（1）连BD∩AC=E过D作DF⊥D1E于F，∴DF为距离用心爱心专心（2）设C到面AB1D1的距离为h∴（3）连DM交D1E于H，设M到面D1AC距离为∴（4）[例5]四棱锥P—ABCD，底面ABCD为菱形，AB=2，∠BAD=60°，PB=PD，PA=PC=，求：（1）B到面PAD的距离；（2）BC与PA的距离；（3）AC与PD的距离。解：（1）AC∩BD=H，连PHBF为所求用心爱心专心PA=，AH，PH，PB=2∴BE=DE=，BD=2∴BF=另（2）（BC，面PAD）=（B，面PAD）=（3）过H作HM⊥PD于M为公垂线[例6]已知直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=2，底面ABCD是直角梯形，∠A为直角，AB//CD，AB=4，AD=2，DC=1，求异面直线BC1与DC所成角的余弦值。解析：由题意AB//DC∴∠C1BA是异面直线BC1与DC所成的角，连结AC1与AC，在中，可得AC=，又在Rt△ACC1中，可得AC1=3，在梯形ABCD中，过C作CH//AD交AB于H，得∠CHB=90°，CH=2，HB=3，∴CB=，又在Rt△CBC1中，可得BC2=在中，∴异面直线BC1与DC所成角的余弦值为用心爱心专心[例7]已知B、C是平面与平面的交线上的两点，，，AB=BC=CD=2，AC=BD=，E、F分别是AC和BD的中点，且EF=。（1）求证：BC是异面直线AB与CD的公垂线；（2）求AB与CD所成角的大小。解析：（1）证明：题设给出一系列数据，通过计算得，=，可知和都是直角三角形，其中∠ABC和∠BCD是直角，即BC⊥AB，BC⊥CD。即BC是异面直线AB与CD的公垂线（2）取BC中点为G，如图，可知∠EGF（或其补角）是AB与CD所成的角，在△EGF中，由余弦定理得，故，即AB与CD所成的角为60°。[例8]如图所示，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都等于，P，Q分别是棱B1C1和A1A的中点。（1）求异面直线AB和PC所成角的余弦值；（2）求锐二面角B—PQ—C的大小。解析：（1）选取A1C1中点M，连结PM，MC，则由于M，P分别是A1C1和B1C1的中点，所以MP。而A1B1AB，所以MP。用心爱心专心从而∠MPC为异面直线AB和PC所成的角或其补角。又在△CMP中，由余弦定理，得因此异面直线AB和PC所成的角余弦值为。（2）在中，在中，在中，在中，从而△BQP中和△CQP是两个具有公共底边的等腰三角形取PQ中点N，连结BN，CN，则BN⊥PQ，CN⊥PQ，从而∠BNC为二面角B—PQ—C的平面角。连结A1P，则在中，所以BN=CN=即△BNC为正三角形，∠BNC=60°，因此锐二面角B—PQ—C的大小为60°[例9]如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1。求：用心爱心专心（1）BF的长；（2）点C到平面AEC1F的距离。解析：（1）过E作EH//BC交CC1于H，则CH=BE=1，EH//AD，且EH=AD又 AF//EC1∴∠FAD=∠C1EH∴∴DF=C1H=2∴（2）延长C1E与CB延长线交于G，连结AG，则平面AEC1F与平面ABCD相交于AG过C作CM⊥AG，垂足为M，连C1M，由三垂线定理可知AG⊥C1M，由于AG⊥面C1MC，且AG面AEC1F∴面AEC1F⊥面C1MC，在中，作CQ⊥MC1，垂足为Q，则CQ的长即为C到平面AEC1F的距离由可得BG=1，从而AG=由∠GAB=∠MCG知，CM=3cos∠MCG=3cos∠GAB=[例10]已知正方体AB...