绝对值不等式的解法与绝对值的三角不等式目标认知学习目标：1、理解并熟练掌握与型不等式的解法。2、掌握∣x－a∣＋∣x－b∣≥c与∣x－a∣＋∣x－b∣≤c型不等式的解法。3、理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：①∣a＋b∣≤∣a∣＋∣b∣；②∣a－b∣≤∣a－c∣＋∣c－b∣；重点难点：解绝对值不等式，利用绝对值不等式求最值.知识要点梳理知识点一：实数的绝对值（1）实数绝对值的定义（代数意义）:这是去掉绝对值符号的依据，是解含绝对值符号的不等式的基础.（2）|a|的几何意义：数轴上表示数a的点离开原点的距离|x|可看作是数轴上的动点P(x)到原点的距离.|x-a|(a≥0)的几何意义：x在数轴上的对应点与a的对应点之间的距离（3）由定义可知：,.知识点二：最简单的含绝对值符号的不等式的解法;注:利用实数绝对值的几何意义是很容易理解上式的；可以形象地记忆成：“大于取两边，小于取中间”.知识点三：与型的不等式的解法不等式的解集为;不等式的解集为注：把看作一个整体时，可化为与型的不等式来求解知识点四：含有两个和两上以上绝对值式子的不等式的解法用心爱心专心方法一：分类讨论（零点分段法）一般步骤：①令每个绝对值符号里的一次式为0，求出相应的根（找零点）；②把这些根由小到大排序，它们把实数轴分为若干个区间（分区间）；③在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，讨论所得不等式在这个区间上的解集；④把各个区间上的解集并在一起（即求它们的并集），就得到原不等式的解集。方法二：图象法构造函数，画出函数的图象，由函数的零点求出不等式的解集．方法三：几何解法利用绝对值不等式的几何意义，给绝对值不等式以准确的几何解释，得出不等式的解．体现了数形结合思想．注：分类讨论的方法具有普遍性，但较麻烦，几何法和图象法直观，但只适用于数据较简单的情况，三种方法各有千秋，都应熟练掌握。知识点五：绝对值的三角不等式定理1：若a、b为实数，则|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立。定理2：若a、b、c为实数，则|a-c|≤|a-b|+|b-c|，当且仅当（a-b）（b-c）≥0时，等号成立。推论1：||a|-|b||≤|a+b|推论2：||a|-|b||≤|a-b|综上可得：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.取等号的条件：(1)|a|-|b|≤|a+b|取等号a,b异号且|a|＞|b|(2)|a+b|≤|a|+|b|取等号a,b同号(3)|a|-|b|≤|a-b|取等号a,b同号且|a|＞|b|(4)|a-b|≤|a|+|b|取等号a,b异号。注意：(1)可改写为||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|，当a,b同号或至少有一为0时右侧等号成立，当a,b异号或至少有一为0时左侧等号成立。等号成立的条件常可用于求最值问题。(2)定理1可推广到多个数的情况：|a1+a2+……+an|≤|a1|+|a2|+……+|an|，当且仅当a1,a2……an非异号时等号成立。它是不等式的证明中“放缩”的依据，同时也使求函数的最值有了更简洁的途径。(3)定理可与向量模的不等式：联系起来，因此也可称为三角形不等式。规律方法指导1、绝对值不等式的解法的基本思路：去掉绝对值符号，因此如何去掉绝对值符号是解决用心爱心专心这类问题的关键。常利用绝对值的代数意义和几何意义。2、几种常用的同解变形①|f(x)|＞|g(x)|f2(x)＞g2(x)②|f(x)|＞g(x)f(x)＞g(x)或f(x)＜-g(x)③|f(x)|＜g(x)-g(x)＜f(x)＜g(x)④含有两个或两个以上绝对值符号的不等式可用“按零点分区间”讨论的方法来脱去绝对值符号去求解；也可以用函数图像法来解决。用心爱心专心
