数学精典习题模式化解题分析与反思［问题］：已知函数，（1）若的定义域为，判断在定义域上的增减性，并用定义证明；（2）当时，使的值域为的定义区间是否存在？请说明理由。［分析］：（1）总体模式识别：函数问题复合函数问题（2）函数问题定义域先行，由，本题给出定义域是，易产生不用考虑定义域的错觉，而此定义域端点是字母形式，应由已知确定字母的取值范围。理性思维强调思维的严谨性，而本题这一步的思考有积极的借鉴作用。（3）模式识别：用定义证明函数的单调性；（4）进入用定义证明单调性模式：解：设，，当时，，函数在上是减函数；当时，，函数在上是增函数。反思：本证明是真正的用定义证明函数单调性吗？在证明过程中实际是用了函数这个函数的单调性，来证明复合函数的单调性，严格地说，这不是定义证明单调性，而是用单调性证明单调性。下面给出修正后的解法：解：设，第1页共3页，以下同上解（5）模式识别：第二问是一个逆向问题，根据逆向问题正向求解的思路，第二问可以看成求函数在定义区间上的值域问题。（6）模式识别：求值域有很多方法，本题用什么方法好呢？注意到本题第一问已经证明，当时，函数在区间上是单调减函数，所以本题实质是已知函数单调性求值域模式。（7）进入模式：解：由（1）知，当时，为减函数，所以，，所以，（＊）（8）观察结构特征：上面两式有完全相同的结构特征，是方程（＊）的根，方程变形得到，这是一个二次型方程，是这个二次方程的两个根，这正是方程思想在解题中的体现。（9）模式识别：由于，所以，这是一个二次方程根的分布模式，由此进入二次方程根的分布解题模式。解：有两个大于3的不等实根。令所以，当时，存在这样的区间；当时，不存在这样的区间。反思：（1）这里用到了函数与方程的思想：方程的根函数图象的交点，将方程的根的问题转化为函数图象的交点问题；（2）将方程的根的问题转化为函数的图象的交点问题，这实质上是一种数第2页共3页形结合思想的应用。（10）对（＊）式，如果分离变量，化成如下形式：，因为，，所以，，这就进入了一个函数求值域的模式。显然，这个函数属非常规函数，要用到导数法求值域，其本质就是用导数的方式画出这个函数的简图，所以，可以将导数法归入图解法。解：在上，单增在上，单减所以，又，所以，解题过程的反思与总结：（1）本题是由四个基本的解题模式构成：用定义证明函数的单调性；复合函数在闭区间上的值域（利用单调性）；二次方程根的分布；用导数求函数的值域。掌握这些解题模式是顺利求解的根本；（2）这些解题模式有些非常明显，能比较容易识别出来，有些非常隐蔽，怎样识别出这些模式就成为解题的关键。许多情况下，数学思想能用高观点指导我们从复杂的题目中找到解题思路，识别出较隐蔽的模式。本题中的二次方程根的分布与用导数求函数的值域两个解题模式，均是函数与方程的思想与数形结合思想有具体体现。（3）解题教学不应仅仅是回答怎么样的问题，更应回答为什么这样的问题，这正是识别模式的关键，也是模式化解题的关键一步。第3页共3页3323
