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高三数学精典习题模式化解题分析与反思VIP免费

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数学精典习题模式化解题分析与反思[问题]:已知函数,(1)若的定义域为,判断在定义域上的增减性,并用定义证明;(2)当时,使的值域为的定义区间是否存在?请说明理由。[分析]:(1)总体模式识别:函数问题复合函数问题(2)函数问题定义域先行,由,本题给出定义域是,易产生不用考虑定义域的错觉,而此定义域端点是字母形式,应由已知确定字母的取值范围。理性思维强调思维的严谨性,而本题这一步的思考有积极的借鉴作用。(3)模式识别:用定义证明函数的单调性;(4)进入用定义证明单调性模式:解:设,,当时,,函数在上是减函数;当时,,函数在上是增函数。反思:本证明是真正的用定义证明函数单调性吗?在证明过程中实际是用了函数这个函数的单调性,来证明复合函数的单调性,严格地说,这不是定义证明单调性,而是用单调性证明单调性。下面给出修正后的解法:解:设,第1页共3页,以下同上解(5)模式识别:第二问是一个逆向问题,根据逆向问题正向求解的思路,第二问可以看成求函数在定义区间上的值域问题。(6)模式识别:求值域有很多方法,本题用什么方法好呢?注意到本题第一问已经证明,当时,函数在区间上是单调减函数,所以本题实质是已知函数单调性求值域模式。(7)进入模式:解:由(1)知,当时,为减函数,所以,,所以,(*)(8)观察结构特征:上面两式有完全相同的结构特征,是方程(*)的根,方程变形得到,这是一个二次型方程,是这个二次方程的两个根,这正是方程思想在解题中的体现。(9)模式识别:由于,所以,这是一个二次方程根的分布模式,由此进入二次方程根的分布解题模式。解:有两个大于3的不等实根。令所以,当时,存在这样的区间;当时,不存在这样的区间。反思:(1)这里用到了函数与方程的思想:方程的根函数图象的交点,将方程的根的问题转化为函数图象的交点问题;(2)将方程的根的问题转化为函数的图象的交点问题,这实质上是一种数第2页共3页形结合思想的应用。(10)对(*)式,如果分离变量,化成如下形式:,因为,,所以,,这就进入了一个函数求值域的模式。显然,这个函数属非常规函数,要用到导数法求值域,其本质就是用导数的方式画出这个函数的简图,所以,可以将导数法归入图解法。解:在上,单增在上,单减所以,又,所以,解题过程的反思与总结:(1)本题是由四个基本的解题模式构成:用定义证明函数的单调性;复合函数在闭区间上的值域(利用单调性);二次方程根的分布;用导数求函数的值域。掌握这些解题模式是顺利求解的根本;(2)这些解题模式有些非常明显,能比较容易识别出来,有些非常隐蔽,怎样识别出这些模式就成为解题的关键。许多情况下,数学思想能用高观点指导我们从复杂的题目中找到解题思路,识别出较隐蔽的模式。本题中的二次方程根的分布与用导数求函数的值域两个解题模式,均是函数与方程的思想与数形结合思想有具体体现。(3)解题教学不应仅仅是回答怎么样的问题,更应回答为什么这样的问题,这正是识别模式的关键,也是模式化解题的关键一步。第3页共3页3323

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