高三数学第一轮复习：不等式的综合应用【本讲主要内容】一.本周教学内容：不等式的综合应用【知识掌握】【知识点精析】等的关系体现了数学的对称美和统一美，不等关系则如同仙苑奇葩呈现出了数学的奇异美。不等式的知识渗透在数学中的各个分支，相互之间有着千丝万缕的联系，因此不等式又可作为一个工具来解决数学中的其它问题，诸如集合问题，方程（组）的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题无一不与不等式有着密切的联系。许多问题最终归结为不等式的求解或证明；不等式还可以解决现实世界中反映出来的数学问题。不等式中常见的基本思想方法有等价转化、分类讨论、数形结合、函数与方程。总之，不等式的应用体现了一定的综合性，灵活多样性，这对同学们将所学数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用。在解决问题时，要依据题设、题断的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明。不等式是继函数与方程之后的又一重点内容之一，作为解决问题的工具，与其它知识综合运用的特点比较突出。不等式的应用大致可分为两类：一类是建立不等式求参数的取值范围或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用均值不等式求最值问题。1、解答不等式应用题，一般可分为如下四步：（1）阅读理解材料：应用题所用语言多为“文字语言，符号语言，图形语言”并用，而且不少应用题文字叙述篇幅较长，阅读理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型，这就要求解题者领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系。初步形成用怎样的模型能够解决问题的思路，明确解题方向。（2）建立数学模型：根据（1）中的分析，把实际问题用“符号语言”、“图形语言”抽象成数学模型，并且，建立所得数学模型和已知数学模型的对应关系，以便确立下一步的努力方向。（3）讨论不等式关系：根据（2）中建立起来的数学模型和题目要求，讨论与结论有关的不等关系，得到有关理论参数的值。（4）作出问题结论：根据（3）中得到的理论参数的值，结合题目要求作出问题的结论。2、在利用平均值不等式求最值时，一定要紧扣“一正二定三相等”这三个条件。即每项都是正值，和或积是定值，所有的项能同时相等；而“二定”这个条件是对不等式进行巧妙分拆、组合、添加系数等使之能变成可用均值不等式的形式的关键。倘若要多次用均值不等式求最值，必须保持每次取“＝”号的一致性。用均值不等式求解其它单元的综合题时，列出有关量的函数关系式或方程是用均值不等式求解或转化的关键。3、含参问题即求某个量（字母）的取值范围（或最值）问题是数学中的重要问题，这时，若可把它看成主要的量，往往就可看成函数的自变量或变量，可通过求解函数性质的方法处理若只能把它看成参变量（还有其它主要的量），往往可通过根的分布求解。【解题方法指导】例1.已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1＝0。（1）若方程有两根，其中一根在区间（－1，0）内，另一根在区间（1，2）内，求m的范围。（2）若方程两根均在区间（0，1）内，求m的范围。剖析：二次方程的根的分布问题一般是借助于二次函数这个有力的工具来解决。先设出二次方程对应的函数，画出相应的示意图，然后对二次函数图像的位置加以限制来满足题目要求，所谓限制就是对二次函数在区间端点的函数值的符号进行限制。解：（1）条件说明抛物线f（x）＝x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间（－1，0）和（1，2）内，画出示意图，得∴（2）据抛物线与x轴交点落在区间（0，1）内，列不等式组（这里0<－m<1是因为对称轴x＝－m应在区间（0，1）内通过）解得－
