柯西不等式与排序不等式及其应用目标认知学习目标：1、认识二维形式的柯西不等式的代数形式、向量形式和三角形式，理解它们的几何意义，掌握它们之间的关系．2、认识柯西不等式的一般形式，理解它的几何意义，能够利用柯西不等式求一些特定函数的极值.3、了解排序不等式，会利用排序不等式证明有关的问题并掌握一些简单应用．重点难点：利用柯西不等式求最值.知识要点梳理知识点一：柯西不等式1.二维形式的柯西不等式：（1）向量形式：设是两个向量，则，当且仅当是零向量或存在实数k，使时，等号成立。（2）代数形式：①若a、b、c、d都是实数，则，当且仅当ac=bd时，等号成立；②若a、b、c、d都是正实数，则，当且仅当ac=bd时，等号成立；③若a、b、c、d都是实数，则，当且仅当ac=bd时，等号成立；注意：柯西不等式的代数形式可以看作是向量形式的坐标化表示；（3）三角形式：设，则。2.三维形式的柯西不等式（代数形式）：若都是实数，则，当且仅当或存在用心爱心专心实数k，使得时，等号成立。3.一般形式的柯西不等式（代数形式）：若都是实数，则，当且仅当或存在实数k，使得时，等号成立。知识点二：排序不等式（又称排序原理）设为两组实数，是的任一排列，则≤≤当且仅当时，反序和等于顺序和。注意：（1）设为两组实数，是的任一排列，称为这两个实数组的顺序积之和简称顺序和；称为这两个实数组的反序积之和简称反序和；称为这两个实数组的乱序积之和简称乱序和；（2）反序和≤乱序和≤顺序和．（3）学习排序不等式要抓住它的本质含义：两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大．反之，反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小，注意等号成立条件是其中一个序列为常数序列．规律方法指导（1）柯西不等式是一个非常重要的不等式，其结构和谐，应用灵活广泛，灵活巧妙的运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，并且柯西不等式本身的证明方法也值得在不等式证明中借鉴。（2）使用一些方法构造符合柯西不等式的形式及条件，继而达到使用柯西不等式解决有用心爱心专心关的问题。（3）利用柯西不等式求最值的关键在于将式子进行恰当的“凑”变形。（4）排序不等式要抓住它的本质含义：两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大．反之，反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小，注意等号成立条件是其中一个序列为常数序列．用心爱心专心
