高三数学文科抛物线部分典型例题[例1]如图所示，F为抛物线的焦点，A（4，2）为抛物线内一定点，P为抛物线上一动点，的最小值为8。（1）求抛物线的方程；（2）若O为坐标原点，问是否存在点M，使过点M的动直线与抛物线交于B、C两点。且，证明你的结论。解：（1）由抛物线性质可知故抛物线方程为（2）若斜率存在，设过M的直线方程为，显然，，直线交抛物线于B、C由由故动直线方程为即[例2]已知抛物线的准线与轴交于M点，过M作直线与抛物线交于A、B两点，若AB的垂直平分线与轴交于E（）。（1）求的取值范围；（2）能否是正三角形？若能，求的值；若不能，请说明理由。解：（1）由题意得直线：，代入，得用心爱心专心122号编辑1由，则，且设方程两根分别为A、B两点的横坐标，则其中点坐标为则AB的垂直平分线方程为令，得（2）若为正三角形，则点E到AB的距离为的倍由（），得[例3]已知抛物线C：，点A（），如果抛物线C上到点A距离最近的是抛物线C的顶点，那么的取值范围是（）A.B.C.D.解法一：从方程角度看命题的等价转化方程组只有一解方程（3）在上只有一个解由（3）有两个解，故解法二：从函数角度看命题的等价转化函数（当时，有最小值）函数（在定义域的左端点取最小值）这样只须令二次函数的对称轴位于原点的左侧，即解法三：从不等式角度看命题的转化关于x、y的不等式（4）（对一切满足的实数成立，且时，等号成立）关于的不等式（5）（在上成立，且时等号成立）由于（5）的解集是“两根之外”，因此应在大根之外，故另一根用心爱心专心122号编辑2[例4]已知抛物线过动点M（）且斜率为1的直线与抛物线交于不同的两点A、B，。（1）求的取值范围；（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求面积的最大值。解：（1）将代入，得设直线与抛物线的两个不同的交点坐标为A（），B（）则，又所以因为，，所以解得（2）设AB的垂直平分线交AB于点Q，令坐标，则由中点坐标公式得，所以又为等腰，故因此最大面积为[例5]如图，直线和相交于M，，点，以A、B为端点的曲线段C上的任一点到的距离与到点N的距离相等，若为锐角三角形，，，且，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程。用心爱心专心122号编辑3解法一：依题意知，曲线段C是以N为焦点，以为准线的抛物线的一段，其中A、B分别为曲线C的端点，以为x轴，MN的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，设曲线C的方程为（）其中，且M（），N（）由，，得①②由①、②得：，将之代入①得：或由三角形AMN是锐角三角形知，所以，，又由点B在曲线段C上，得：则曲线段C的方程为：解法二：建系，并确定C是抛物线的一段，作，，垂足分别为E、D、F，则由为锐角三角形，故即故，曲线段C的方程为：（）用心爱心专心122号编辑4注：此法根据抛物线定义确定曲线段方程的形式，根据图形应用条件直接确定参数。[例6]在y轴的负半轴上任取一点A（0，m），过点A作抛物线（）的切线，切点C，交轴于点B，F为抛物线的焦点。（1）证明：；（2）延长CF交抛物线于另一点D，连接AD，则能否为钝角，若是钝角，求出m的取值范围，若不是，加以证明。解：（1）抛物线的焦点为F（）设切点C（），则切线AC的方程为令，得即B（）令得，，即A（0，），由，则故，故即（2）设CD方程为，由设，则，由（1）知，用心爱心专心122号编辑5又则若为钝角，则由点C、A、D不共线，则只需即故由，故所以能为钝角，此时m的取值范围为[例7]设是一常数，如图，过点Q（2p，0）的直线与抛物线交于相并两点A、B，以线段AB为直径作⊙H（H为圆心），试证抛物线顶点O在⊙H上，并求当⊙H的面积最小时，直线AB的方程。解法一：设由，从而则，则故O点必在⊙H上又H（）是AB的中点，则故，从而时，⊙H面积最小，此时解法二：由分别消去，得用心爱心专心122号编辑6得A、B所在圆方程：显然原点O在上面圆上，下同解法一。[例8]设正方形ABCD的外接圆方程为（），C、D点所在直线的斜率为。（1）求外接圆圆心M点的坐标及正方形对角线AC、BD的斜率；（2）若在x轴上方的A、B两点在一条以原点为顶点以x轴对称轴的抛物线上，求此抛物线的方程及直线的方程。解：（1）由由，，MA、MB的斜率满足（2）设MB、MA的倾斜角分别为，则，再设...
