数列求和一、利用常用求和公式求和1、等差数列求和公式：2、等比数列求和公式：[例1]已知，求的前n项和.解：由由等比数列求和公式得：=＝＝1－[例2]设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求的最大值.解：由等差数列求和公式得，∴＝＝＝∴当，即n＝8时，二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.[例3]求和：………………………①解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{}的通项之积：设…②（设制错位）①－②得（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：。∴[例4]求数列前n项的和.解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积设…………………………………①…………②①－②得∴三、倒序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.用心爱心专心115号编辑[例6]求的值解：设………….①将①式右边反序得：……②又因为，①+②得：＝89∴S＝44.5四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.[例7]求数列的前n项和：，…解：设将其每一项拆开再重新组合得（分组）当a＝1时，＝（分组求和）当时，＝[例8]求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.解：设∴＝将其每一项拆开再重新组合得：Sn＝＝=＝五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：（1）（2）（3）（4）（5）[例9]求数列的前n项和.解：设，则＝用心爱心专心115号编辑[例10]在数列{an}中，，又，求数列{bn}的前n项的和.解：∵∴数列{bn}的前n项和：＝＝[例11]求证：解：设∵＝＝＝＝∴原等式成立例2.计算：六、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.[例12]求cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°的值.解：设Sn＝cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°∵（找特殊性质项）∴Sn＝（cos1°+cos179°）+（cos2°+cos178°）+（cos3°+cos177°）+···+（cos89°+cos91°）+cos90°＝0（合并求和）[例13]数列{an}：，求S2002.解：设S2002＝，由可得……∵∴S2002＝==＝＝5[例14]在各项均为正数的等比数列中，若的值。解：设由等比数列的性质和对数的运算性质得：＝用心爱心专心115号编辑＝＝10七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.[例15]求之和.解：由于∴＝＝＝＝[例16]已知数列{an}：的值.解：∵＝＝＝＝用心爱心专心115号编辑
