数列与不等式命题新亮点【高考回顾】回顾2007年高考数学的37套试题,我们发现每套试题均有一套数列的解答题.从数列答题知识点可以看出,高考中涉及数列与函数交汇的有4道,涉及数列实际应用的有1道,涉及数列与三角函数综合的有1道,涉及数列与不等式交汇的有12道,涉及数列递推关系的有11道.而对于不等式,不是和数列综合,就是与函数交汇,其中,涉及参数取值范围的有8道,涉及不等式证明的有10道.由此看来,数列与不等式是高考命题的热点内容.【高考预测】在2008年高考中,比较新颖的数列与不等式选择题或填空题一定会出现.数列解答题的命题热点是与不等式交汇,呈现递推关系的综合性试题.其中,以函数与数列、不等式为命题载体,有着高等数学背景的数列解答题是未来高考命题的一个新的亮点,而命题的冷门则是数列的应用性解答题.此外,高考也一定会出现解不等式的传统题目.【经典例题】例1把数列一次按第一个括号一个数,按第二个括号两个数,按第三个括号三个数,按第四个括号一个数…,循环分为(1),(3,5),(7,9,11),(13),(15,17),(19,21,23),(23)…,则第50个括号内各数之和为_____.解析:讲三个括号作为一组,则由知第50个括号应为第17组的第二个括号,即第50个括号中应是两个数.又因为每组中含有6个数,所以第48个括号的最末一个数为数列的第项,第50个括号的第一个数应为数列的第98项,即为,第二个数为,故第50个括号内各数之和为.答案:392.点评:恰当的分组,找到各数之间的内在联系是解决之道.此外,这种题对观察能力有较高的要求.例2设是由正数构成的等比数列,,,则()A.B.C.D.解析:设其公比为,则,当时,用心爱心专心115号编辑ABCDSABCDS;当且时,,故.点评:此题较易入手,利用作差法即可比较大小,考察数列的递推关系.例3若对,不等式恒成立,则实数的取值范围()A.B.C.D.解析:由已知得.设,由于,则.于是,有,便得,解得.答案:A.点评:在含参数的不等式中求参数取值范围,是高考命题的一个趋势.如何变形?如何转化?函数观点,结合系数分类法,降元化归为二次区间上恒成立,或选择主元,构造函数,形助数构建不等式,这些都是多参数问题求解的思维方法.此题采用的是第一种方案,少去了讨论的麻烦.例4四棱锥S-ABCD的所有棱长均为1米,一只小虫从S点出发沿四棱锥的棱爬行,若在每一顶点处选择不同的棱都是等可能的.设小虫爬行米后恰好回到S点的概率为(1)求、的值;(2)求证:(3)求证:解析:(1)表示从S点到A(或B、C、D)点,然后再回到S点的概率,所以;因为从S点沿SA棱经过B点或D点,然后再回到S点的概率为,所以.(2)设小虫爬行米后恰好回到S点的概率为,那么表示爬行米后恰好没回到S点的概率,则此时小虫必在A(或B、C、D)点,所以,即.(3)由,可用心爱心专心115号编辑得,从而,所以.点评:以鲜活的生活实际为背景,编制应用性问题是高考命题的原则.故特列举此“爬行问题”,以检测同学们运用所学数学知识,进行分析和解决实际问题的能力.例5已知函数.(1)数列满足:,,若对任意的恒成立,试求的取值范围;(2)数列满足:,,记,为数列的前项和,为数列的前项积,求证.解析:(1)因为,所以.于是,,为等比数列,所以,从而,有.故.(2)因为,所以,,,,.即有.由,显然,知,即用心爱心专心115号编辑.因为,所以.点评:题目立意新颖,将函数、导数、数列的性质及求和的各种方法融为一体构成综合性推理题,考察同学们阅读理解、逻辑分析、运算求解能力及应用意识.这类题型是近几年高考命题的一个方向,要引起高度重视.例6(1)证明:(2)数列中.,且;①证明:②解析:(1)设,则.所以在内是减函数,.又在处连续,所以.即(2)①用数学归纳法证之.a.当时,;b.假设时,;当时,,结论成立.综上,对一切,有.②由①及已知得,所以.所以,用心爱心专心115号编辑又由(1)得,所以,,…….相加,得,故不等式成立.点评:本题是一道改编题,属于理科数学的预测题.递推数列与不等式证明的结合,是历年高考命题的常见策略.用心爱心专心115号编辑
