江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(二十)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21.【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A.(选修4-1：几何证明选讲)如图，AB是圆O的直径，弦CA，BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F，连结FD.求证：∠DEA＝∠DFA.B.(选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵M＝的两个特征向量α1＝，α2＝，若β＝，求M2β.C.(选修4-4：坐标系与参数方程)已知直线l的参数方程为曲线C的极坐标方程为ρ＝4sinθ，试判断直线l与曲线C的位置关系．D.(选修4-5：不等式选讲)已知正数x，y，z满足x＋2y＋3z＝1，求＋＋的最小值．【必做题】第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22.甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，假设每局比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙、乙胜丙的概率都为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判．(1)求第3局甲当裁判的概率；(2)记前4局中乙当裁判的次数为X，求X的概率分布与数学期望．23.记f(n)＝(3n＋2)(C＋C＋C＋…＋C)(n≥2，n∈N*)．(1)求f(2)，f(3)，f(4)的值；(2)当n≥2，n∈N*时，试猜想所有f(n)的最大公约数，并证明．(二十)21.A.证明：连结AD，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADE＝90°.(4分)∵EF⊥FB，∴∠AFE＝90°，∴A，F，E，D四点共圆，∴∠DEA＝∠DFA.(10分)B.解：设矩阵M的特征向量α1对应的特征值为λ1，特征向量α2对应的特征值为λ2，则由可解得m＝n＝0，λ1＝2，λ2＝1.(4分)又β＝＝＋2＝α1＋2α2，(6分)所以M2β＝M2(α1＋2α2)＝λα1＋2λα2＝4＋2＝.(10分)C.解：直线l的普通方程为2x－y－2＝0；曲线C的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4，它表示圆．(4分)由圆心到直线l的距离d＝＝＜2，得直线l与曲线C相交．(10分)D.解：＋＋＝(x＋2y＋3z)＝1＋4＋9＋＋＋＋＋＋(4分)≥14＋2＋2＋2＝36，所以＋＋的最小值为36.(10分)22.解：(1)第2局中可能是乙当裁判，其概率为，也可能是丙当裁判，其概率为，所以第3局甲当裁判的概率为×＋×＝.(4分)(2)X可能的取值为0，1，2.(5分)P(X＝0)＝××＝；(6分)P(X＝1)＝×＋×＋××＝；(7分)P(X＝2)＝×＝.(8分)所以X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝.(10分)23.解：(1)因为f(n)＝(3n＋2)(C＋C＋C＋…＋C)＝(3n＋2)C，所以f(2)＝8，f(3)＝44，f(4)＝140.(3分)(2)由(1)中结论可猜想所有f(n)的最大公约数为4.(4分)下面用数学归纳法证明所有的f(n)都能被4整除即可．①当n＝2时，f(2)＝8能被4整除，结论成立；(5分)②假设n＝k时，结论成立，即f(k)＝(3k＋2)C能被4整除，则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝(3k＋5)C＝(3k＋2)C＋3C＝(3k＋2)(C＋C)＋(k＋2)C(7分)＝(3k＋2)C＋(3k＋2)C＋(k＋2)C＝(3k＋2)C＋4(k＋1)C，此式也能被4整除，即n＝k＋1时结论也成立．综上所述，所有f(n)的最大公约数为4.(10分)
