江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(一)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21.【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A.(选修4-1：几何证明选讲)如图，已知AB为圆O的直径，BC切圆O于点B，AC交圆O于点P，E为线段BC的中点．求证：OP⊥PE.B.(选修4-2：矩阵与变换)设曲线2x2＋2xy＋y2＝1在矩阵A＝(a＞0)对应的变换作用下得到的曲线为x2＋y2＝1.求实数a，b的值．C.(选修4-4：坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：(t为参数)与曲线C2：(θ为参数，a＞0)有一个公共点在x轴上，P(m，n)为曲线C2上任一点，求m＋n的取值范围．D.(选修4-5：不等式选讲)设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：＋＋≥9.【必做题】第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22.如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．(1)求二面角ADFB的大小；(2)试在线段AC上确定一点P，使PF与BC所成的角是60°.23.设f(x，n)＝(1＋x)n，n∈N*.(1)求f(x，6)的展开式中系数最大的项；(2)n∈N*时，化简C4n－1＋C4n－2＋C4n－3＋…＋C40＋C4－1；(3)求证：C＋2C＋3C＋…＋nC＝n×2n－1.(一)21.A.证明：连结BP，因为AB是圆O的直径，所以∠APB＝90°，从而∠BPC＝90°.(2分)在△BPC中，因为E是边BC的中点，所以BE＝EC，从而BE＝EP，因此∠1＝∠3.(4分)因为B、P为圆O上的点，所以OB＝OP，从而∠2＝∠4.(6分)因为BC切圆O于点B，所以∠ABC＝90°，即∠1＋∠2＝90°，(8分)从而∠3＋∠4＝90°，于是∠OPE＝90°.所以OP⊥PE.(10分)B.解：设曲线2x2＋2xy＋y2＝1上任一点P(x，y)在矩阵A对应变换下的像是P′(x′，y′)，则＝＝，(2分)所以(5分)因为x′2＋y′2＝1，所以(ax)2＋(bx＋y)2＝1，即(a2＋b2)x2＋2bxy＋y2＝1，(7分)所以由于a＞0，得a＝b＝1.(10分)C.解：曲线C1：的直角坐标方程为y＝3－2x，与x轴交点为.(2分)曲线C2：的直角坐标方程为＋＝1，与x轴交点为(－a，0)，(a，0)，(4分)由a＞0，曲线C1与曲线C2有一个公共点在x轴上，所以a＝.(6分)所以2m＋n＝3sinθ＋3cosθ＝3sin，(8分)所以2m＋n的取值范围为[－3，3]．(10分)[试题更正：题目中“求m＋n的取值范围”改为“求2m＋n的取值范围”]D.证明：＋＋＝1＋＋1＋＋1＋(4分)＝3＋＋＋＋＋＋(8分)≥3＋2＋2＋2＝9.(10分)22.解：(1)以CD，CB，CE为正交基底，建立空间直角坐标系，则E(0，0，1)，D(，0，0)，F(，，1)，B(0，，0)，A(，，0)，BD＝(，－，0)，BF＝(，0，1)．平面ADF的法向量t＝(1，0，0)，(2分)设平面DFB法向量n＝(a，b，c)，则n·BD＝0，n·BF＝0，所以令a＝1，得b＝1，c＝－，所以n＝(1，1，－)．(4分)设二面角ADFB的大小为θ，从而cosθ＝|cos〈n，t〉|＝，∴θ＝60°，故二面角ADFB的大小为60°.(6分)(2)依题意，设P(a，a，0)(0≤a≤)，则PF＝(－a，－a，1)，CB＝(0，，0)．因为〈PF，CB〉＝60°，所以cos60°＝＝，解得a＝，(9分)所以点P应在线段AC的中点处．(10分)23.(1)解：展开式中系数最大的项是第四项为Cx3＝20x3.(3分)(2)解：C4n－1＋C4n－2＋C4n－3＋…＋C40＋C4－1＝[C4n＋C4n－1＋C4n－2＋…＋C4＋C]＝(4＋1)n＝.(7分)(3)证明：因为kC＝nC，所以C＋2C＋3C＋…＋nC＝n(C＋C＋C＋…＋C)＝n×2n－1.(10分)
