高三数学抛物线综合复习（二）（文）人教版【同步教育信息】一.本周教学内容：抛物线综合复习（二）【典型例题】[例1]抛物线方程为，直线与轴的交点在抛物线的准线的右边。（1）求证：直线与抛物线总有两个交点；（2）设直线与抛物线的交点为Q、R，OQ⊥OR，求P关于的函数的表达式；（3）在（2）的条件下，若抛物线焦点F到直线的距离为，求此直线的方程。解：（1）准线，直线与轴的交点为（），则，即由而又及，则，得证。（2）设Q（），R（），则，由即，又Q、R为直线上的点则，于是即即由（3）抛物线的焦点，于是又则，但且，因而舍去故所求直线方程为用心爱心专心[例2]若抛物线（）总存在不同两点关于直线上的点M对称（1）求M的集合；（2）当点M处于何位置时，两对称点以及坐标原点组成的三角形面积最大，并求此最大值。解：（1）设抛物线上的两点为P（），Q（）则两式相减，得即即由M在抛物线内部*则故M的坐标满足即M满足，集合（2），（利用弦长公式）则当，即时，，（*）法也可利用下述方法求：PQ：即由，[例3]已知直线过坐标原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在轴正半轴上，若点A（）和B（0，8）关于的对称点都在C上，求直线和抛物线C的方程。解：设抛物线方程为（）依题意，直线不是轴、轴设直线的方程为（）设、分别是点A、B关于直线的对称点则，直线的方程为用心爱心专心由由点M为的中点，则同理可求得由点，在抛物线C上，其坐标满足方程当时不合题意，故，直线：由（由）故抛物线C：[例4]设抛物线过定点A（0，2），且以轴为准线（1）试求抛物线顶点M的轨迹C的方程；（2）若点P（）不在线段上，那么取何值时，过点P存在一对相互垂直的直线同时与曲线C有公共点。解：（1）设抛物线顶点M（）其中，由抛物线以轴为准线则焦点F（）抛物线过定点A（0，2），由抛物线定义有化简整理得抛物线顶点M的轨迹C的方程为（即不含原点）（2）设过点P（）的直线的方程为由消去并整理得与C有公共点若过点P存在一对相互垂直的直线同时与曲线C有公共点，则有解，即有解由P（）不在线段上，则故，从而故用心爱心专心故当或时，过P存在一对相互垂直的直线与曲线C有公共点。[例5]抛物线（）的准线和焦点分别是椭圆的左准线和左焦点，直线和椭圆、抛物线在第一象限交于点A和点B，已知A是OB中点。（1）求椭圆的离心率；（2）若椭圆过点P（0，5），求椭圆和抛物线方程；（3）设椭圆短轴上端点为M，求M的轨迹方程。解：（1）由（负舍）则B（）而A为OB中点，则A（）由抛物线准线方程，又抛物线与椭圆有相同的左焦点和左准线，故椭圆离心率为（2）设椭圆方程为，把P（0，5）代入得，而，则，又所求椭圆方程为又，所以抛物线方程为（3）椭圆上端点为（）则又，则故又由，则椭圆短轴上端点轨迹方程为【模拟试题】（答题时间：60分钟）1.若AB为抛物线的焦点弦，是抛物线的准线，则以AB为直径的圆与的公共点的个数是（）A.0B.1C.2D.0或1或2用心爱心专心2.若抛物线的准线与双曲线的右准线重合，则的值为（）A.B.4C.D.23.抛物线上一点M到焦点的距离为，那么M点到轴的距离为。4.若，则方程的解的个数是。5.已知抛物线与圆至少有一个公共点，则的取值范围。6.已知直线的方程为，椭圆的中心为D（），焦点在轴上，长半轴长为2，短轴长为1，它的一个顶点为A（），问P在什么范围内取值时，椭圆上有四个不同的点，它们中每一个点到点A的距离等于该点到直线的距离。用心爱心专心试题答案1.B2.B3.4.35.6.解：椭圆方程为①依题意椭圆上四个点的坐标都满足方程①满足抛物线方程因此椭圆上四个点符合题意方程①、②组成的方程组有4个不同的实数解，把②代入①并整理得③方程组有4个不同的实数解③有两个不相等的正实根即在的条件下，解之得用心爱心专心
