高三数学必做三角综合题(1)VIP免费

三轮必做的立体几何综合题1、如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，，，为的中点。（Ⅰ）求直线与所成角的余弦值；（Ⅱ）在侧面内找一点，使面，并求出点到和的距离。解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则的坐标为、、、、、，从而设的夹角为，则∴与所成角的余弦值为。（Ⅱ）由于点在侧面内，故可设点坐标为，则，由面可得，∴即点的坐标为，从而点到和的距离分别为。2、如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截面而得到的，其中。（Ⅰ）求的长；（Ⅱ）求点到平面的距离。用心爱心专心115号编辑解：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则，设∵为平行四边形，（II）设为平面的法向量，的夹角为，则∴到平面的距离为3、如图，已知正三棱柱—的底面边长是，是侧棱的中点，直线与用心爱心专心115号编辑侧面所成的角为．（Ⅰ）求此正三棱柱的侧棱长；（Ⅱ）求二面角的大小；（Ⅲ）求点到平面的距离．解：（Ⅰ）设正三棱柱—的侧棱长为．取中点，连．是正三角形，．又底面侧面，且交线为．侧面．连，则直线与侧面所成的角为．在中，，解得．此正三棱柱的侧棱长为．注：也可用向量法求侧棱长．（Ⅱ）解法1：过作于，连，侧面．为二面角的平面角．在中，，又，．又在中，．故二面角的大小为．解法2：（向量法，见后）（Ⅲ）解法1：由（Ⅱ）可知，平面,平面平面，且交线为，过作于，则平面．用心爱心专心115号编辑ABCD1A1B1CEFGHI在中，．为中点，点到平面的距离为．解法2：（思路）取中点，连和，由，易得平面平面，且交线为．过点作于，则的长为点到平面的距离．解法3：（思路）等体积变换:由可求．解法4：（向量法，见后）题（Ⅱ）、（Ⅲ）的向量解法：（Ⅱ）解法2：如图，建立空间直角坐标系．则．设为平面的法向量．由得．取…………6分又平面的一个法向量…………7分．结合图形可知，二面角的大小为．（Ⅲ）解法4：由（Ⅱ）解法2，点到平面的距离＝．16．一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图是腰长为6的两个全等的等腰直角三角形.（Ⅰ）请画出该几何体的直观图，并求出它的体积；（Ⅱ）用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为6的正方体ABCD—A1B1C1D1?如何组拼？试证明你的结论；用心爱心专心115号编辑ABCD1A1B1Cxyzo正视图侧视图俯视图（Ⅲ）在（Ⅱ）的情形下,设正方体ABCD—A1B1C1D1的棱CC1的中点为E,求平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值.解：（Ⅰ）该几何体的直观图如图1所示，它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥.其中底面ABCD是边长为6的正方形，高为CC1=6，故所求体积是（Ⅱ）依题意，正方体的体积是原四棱锥体积的3倍，故用3个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为6的正方体，其拼法如图2所示.证明:∵面ABCD、面ABB1A1、面AA1D1D为全等的正方形，于是故所拼图形成立.（Ⅲ）方法一：设B1E，BC的延长线交于点G，连结GA，在底面ABC内作BH⊥AG，垂足为H，连结HB1，则B1H⊥AG，故∠B1HB为平面AB1E与平面ABC所成二面角或其补角的平面角.在Rt△ABG中，，则，，，故平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值为.-方法二：以C为原点，CD、CB、CC1所在直线分别为x、y、z轴建立直角坐标系（如图3），∵正方体棱长为6，则E（0，0，3），B1（0，6，6），A（6，6，0）.设向量n=（x，y，z），满足n⊥，n⊥，于是，解得.取z=2，得n=（2，-1，2）.又（0，0，6），故平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值为.用心爱心专心115号编辑ABCDC1图1ABCDD1A1B1C1图2ABCDD1A1B1C1EHxyzG图3