高三数学平面向量知识精讲苏教版一.教学内容：平面向量二.考试大纲：理解平面向量的有关概念、平面向量的线性运算、平面向量的坐标表示、掌握平面向量的数量积；理解平面向量的平行与垂直；了解平面向量的应用。三.教学重点、难点：重点：平面向量的数量积。难点：向量共线定理。四.基本内容：1、向量的概念：（1）（2）（3）2、向量的运算：运算定义或法则运算性质（运算律）坐标运算加法减法实数与向量的积3、重要的公式定理：形式向量式向量坐标式长度||用心爱心专心116号编辑共线（平行）∥或垂直若为非零向量，__________线段定比分点若P分所成的比为即则中点公式平面向量基本定理如果和是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使4、两个向量的夹角：已知两个非零向量和，过O点作＝，＝，则∠AOB＝θ（0°≤θ≤180°）叫做向量与的．当θ＝0°时，与；当θ＝180°时，与；如果与的夹角是90°，我们说与垂直，记作．5、两个向量的数量积的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，则数量__________叫做与的数量积（或内积），记作·，即·＝．规定零向量与任一向量的数量积为0．若＝（x1，y1），＝（x2，y2），则·＝．6、向量的数量积的几何意义：||cosθ叫做向量在方向上的投影（θ是向量与的夹角）．·的几何意义是，数量·等于7、向量数量积的性质：设、都是非零向量，是单位向量，θ是与的夹角．（1）·＝·＝（2）⊥（3）当与同向时，·＝；当与反向时，·＝．（4）cosθ＝．（5）|·|≤8、向量数量积的运算律：（1）·＝；（2）（λ）·＝＝·（λ）（3）（＋）·＝五.基础训练：1、（福建理4文8）对于向量，和实数，下列命题中假命题是①③④①若，则或②若，则③若，则④若，则2、已知向量＝（4，2），向量＝（，3），且//，则＝63、（全国2理5）在∆ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝用心爱心专心116号编辑，则＝。4、已知向量、满足：||＝1，||＝2，|－|＝2，则|＋|＝。【典型例题】例1.已知A（－1，－1）B（1，3）C（2，5），求证A、B、C三点共线奎屯王新敞新疆证明：设点B′（1，y）是的一个分点，且＝λ，则1＝解得λ＝2奎屯王新敞新疆∴y＝＝3奎屯王新敞新疆即点B′与点B重合奎屯王新敞新疆 点B′在上，∴点B在上，∴A、B、C三点共线奎屯王新敞新疆例2.在四边形ABCD中，·＝·＝·＝·，试证明四边形ABCD是矩形奎屯王新敞新疆分析：要证明四边形ABCD是矩形，可以先证四边形ABCD为平行四边形，再证明其一组邻边互相垂直奎屯王新敞新疆为此我们将从四边形的边的长度和位置两方面的关系来进行思考奎屯王新敞新疆证明：设＝，＝，＝，＝，则 ＋＋＋＝O∴＋＝－（＋）奎屯王新敞新疆两边平方得｜｜2＋2·＋｜｜2＝｜｜2＋2·＋｜｜2，又·＝·∴｜｜2＋｜｜2＝｜｜2＋｜｜2（1）同理｜｜2＋｜｜2＝｜｜2＋｜｜2（2）由（1）（2）得｜｜2＝｜｜2，｜｜2＝｜｜2，∴＝，＝，即AB＝CD，BC＝DA∴四边形ABCD是平行四边形奎屯王新敞新疆于是＝－，即＝－，又·＝·，故·＝·（－）∴·＝O∴⊥∴四边形ABCD为矩形奎屯王新敞新疆评述：向量具有二重性，一方面具有“形”的特点，另一方面又具有一套优良的运算性质，因此，对于某些几何命题的抽象的证明，自然可以转化为向量的运算问题来解决，要注意体会奎屯王新敞新疆例3.设坐标平面上有三点A、B、C，，分别是坐标平面上x轴，y轴正方向的单位向量，若向量＝－2，＝＋ｍ，那么是否存在实数ｍ，使A、B、C三点共线奎屯王新敞新疆用心爱心专心116号编辑分析：可以假设满足条件的ｍ存在，由A、B、C三点共线∥存在实数λ，使＝λ，从而建立方程来探索奎屯王新敞新疆解法一：假设满足条件的ｍ存在，由A、B、C三点共线，即∥，∴存在实数λ，使＝λ，－2＝λ（＋ｍ），∴ｍ＝－2奎屯王新敞新疆∴当ｍ＝－2时，A、B、C三点共线奎屯王新敞新疆解法二：假设满足条件的ｍ存在，根据题意可知：＝（1，O），＝（O，1）∴＝（1，O）－2（O，1）＝（1，－2），＝（1，O）＋ｍ（O，1）＝（1，ｍ），由A、B、C三点共线，即∥，...
