高三数学复数的概念与运算知识精讲VIP专享VIP免费

高三数学复数的概念与运算【本讲主要内容】复数的概念与运算复数的概念及代数形式的运算【知识掌握】复数的建立，经历了一个漫长的过程。在许多数学家和数学工作者的辛勤工作下，历经了三百年的时间，数系从实数系向复数系的扩张，才基本得以完成。【知识点精析】1.对已学过的实数集及实数子集的回顾实数（）有理数（）正有理数零负有理数无理数正无理数负无理数无限不循环小数RQ2.由于解方程的需要，在实数集中，有些方程是无法解决的。例如：x210。为此，人们引进一个新数i，叫虚数单位。并且规定：（1）i21（2）实数可以与它进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加乘运算律，仍然成立。3.复数集：形如abiabR()，的数叫复数。（1）复数abiabR()，，当b0时，叫实数。（2）复数abiabR()，，当b0时，叫虚数。（3）复数abiabR()，，当ab00，时，叫纯虚数。其中a与b分别叫复数，abiabR()，的实部和虚部。4.复数相等若两个复数abi和cdi的实部和虚部分别相等，就说两个复数相等。记作：abicdiabcdR()，，，那么：acbd，特殊地：abiab005.两个复数只能说明相等或不相等，不能比较大小。6.共轭复数：两个复数实部相等，虚部互为相反数叫做共轭复数。复数z的共轭复数可以用z表示，即复数：zabi的共轭复数是zabi。7.共轭复数的性质（1）zz（2）zzzz·||||22（其中|z|叫复数的模）（3）zzazzbi22，（4）zzzz1212（5）zzzz1212（6）zzzz1212用心爱心专心（7）zzzzz121220()8.复数的加法与减法（1）复数的加法按以下法则表示：设zabizcdi12，是任意两个复数，那么它们的和：()()()()abicdiacbdi（2）复数的加法满足交换律，结合律，即①zzzz1221（交换律）②()()()zzzzzzzzz123123213（结合律）（3）复数的减法复数的减法规定为加法的逆运算，即把满足()()cdixyiabi的复数xyi叫做复数abi减去复数cdi的差。记作()()abicdi，根据复数相等的定义，有cxadyb，xacybdxyiacbdiabicdiacbdi，也就是()()()()()()9.复数的乘法：规定复数的乘法按照如下法则进行：设zabizcdi12，，那么它们的积：()()()()abicdiacbciadibdiacbdbcadi2也就是说，复数的乘法与多项式的乘法是类似的，注意有一点不同即必须在所得结果中把i2换成1，再把实部，虚部分别合并。复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律，即对任何zzzC123，，，有：zzzzzzzzzzzzzzzzz12211231231231213·········()()()10.虚数单位i的乘方计算复数的乘积要用到复数的单位i的乘方，in有如下性质：iiiiii123411，，，从而对于任何nN，都有：iiiiiinnnn414243411，，，11.复数的除法复数的除法规定是复数乘法的逆运算。用心爱心专心【解题方法指导】例1.设mR，复数zzimimi()()()23121（1）若z为实数，求m；（2）若z为纯虚数，求m。分析：要明确概念的重要性解：（1）zimimi()()()231212()()2323222mmmmimmmmz232012即或时，为实数（2）解：232032022mmmm解得m12当时，为纯虚数mz12小结：（1）对于本题复数用非标准形式给出，应先化成标准形式abi的形式。（2）复数为纯虚数的充要条件是ab00且，二者缺一不可。例2.计算：112008ii解法一：原式()()()1112212200820082008iiiii解法二：原式()()()()112212008200810041004iiii小结：要熟记下列形式：()()121222iiii，1111iiiiii，【考点突破】【考点指要】复数的应用非常广泛，近年来高考中对导数的考查在深度和广度上进一步挖掘，所占大约在6分，因为简单，所以被大家所重视。在本节中主要以基本概...