高三数学备考练习：第十二讲平面几何常用的解题方法 旧人教版VIP免费

高考资源网www.ks5u.com奥林匹克与自主招生《第十二讲平面几何常用的解题方法》主编：贾广素123第十二讲平面几何常用的解题方法一．注意添加平行线证题在同一平面内,不相交的两条直线叫平行线.平行线是平面几何最基本的,也是非常重要的图形.在证明某些平面几何问题时,若能依据证题的需要,添加恰当的平行线,则能使证明顺畅、简洁.添加平行线证题,一般有如下四种情况.1为了改变角的位置大家知道,两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等,内错角相等,同旁内角互补.利用这些性质,常可通过添加平行线,将某些角的位置改变,以满足求解的需要.例1设P、Q为线段BC上两点,且BP＝CQ,A为BC外一动点(如图).当点A运动到使∠BAP＝∠CAQ时,△ABC是什么三角形？试证明你的结论.答：当点A运动到使∠BAP＝∠CAQ时,△ABC为等腰三角形.证明：如图1,分别过点P、B作AC、AQ的平行线得交点D.连结DA.在△DBP＝∠AQC中,显然∠DBP＝∠AQC,∠DPB＝∠C.由BP＝CQ,可知△DBP≌△AQC.有DP＝AC,∠BDP＝∠QAC.于是,DA∥BP,∠BAP＝∠BDP.则A、D、B、P四点共圆,且四边形ADBP为等腰梯形.故AB＝DP.所以AB＝AC.这里,通过作平行线,将∠QAC“平推”到∠BDP的位置.由于A、D、B、P四点共圆,使证明很顺畅.探究1：四边形ABCD为平行四边形,∠BAF＝∠BCE.求证：∠EBA＝∠ADE.2欲“送”线段到当处利用“平行线间距离相等”、“夹在平行线间的平行线段相等”这两条,常可通过添加平行线,将某些线段“送”到恰当位置,以证题.ADBPQC高考资源网www.ks5u.com奥林匹克与自主招生《第十二讲平面几何常用的解题方法》主编：贾广素124例2.在△ABC中,BD、CE为角平分线,P为ED上任意一点.过P分别作AC、AB、BC的垂线,M、N、Q为垂足.求证：PM＋PN＝PQ.证明：如图,过点P作AB的平行线交BD于F,过点F作BC的平行线分别交PQ、AC于K、G,连PG.由BD平行∠ABC,可知点F到AB、BC两边距离相等.有KQ＝PN.显然,PDEP＝FDEF＝GDCG,可知PG∥EC.由CE平分∠BCA,知GP平分∠FGA.有PK＝PM.于是,PM＋PN＝PK＋KQ＝PQ.这里,通过添加平行线,将PQ“掐开”成两段,证得PM＝PK,就有PM＋PN＝PQ.证法非常简捷.3为了线段比的转化由于“平行于三角形一边的直线截其它两边,所得对应线段成比例”,在一些问题中,可以通过添加平行线,实现某些线段比的良性转化.这在平面几何证题中是会经常遇到的.例3.设M1、M2是△ABC的BC边上的点,且BM1＝CM2.任作一直线分别交AB、AC、AM1、AM2于P、Q、N1、N2.试证：APAB＋AQAC＝11ANAM＋22ANAM.证明：如图,若PQ∥BC,易证结论成立.若PQ与BC不平行,设PQ交直线BC于D.过点A作PQ的平行线交直线BC于E.由BM1＝CM2,可知BE＋CE＝M1E＋M2E,易知APAB＝DEBE,AQAC＝DECE,11ANAM＝DEEM1,22ANAM＝DEEM2.则APAB＋AQAC＝DECEBE＝DEEMEM21＝11ANAM＋22ANAM.ANEBQKGCDMFPAPEDCM2M1BQN1N2图高考资源网www.ks5u.com奥林匹克与自主招生《第十二讲平面几何常用的解题方法》主编：贾广素125所以,APAB＋AQAC＝11ANAM＋22ANAM.这里,仅仅添加了一条平行线,将求证式中的四个线段比“通分”,使公分母为DE,于是问题迎刃而解.探究2：AD是△ABC的高线,K为AD上一点,BK交AC于E,CK交AB于F.求证：∠FDA＝∠EDA..4．为了线段相等的传递当题目给出或求证某点为线段中点时,应注意到平行线等分线段定理,用平行线将线段相等的关系传递开去.例4.在△ABC中,AD是BC边上的中线,点M在AB边上,点N在AC边上,并且∠MDN＝90°.如果BM2＋CN2＝DM2＋DN2,求证：AD2＝41(AB2＋AC2).证明：如图,过点B作AC的平行线交ND延长线于E.连ME.由BD＝DC,可知ED＝DN.有△BED≌△CND.于是,BE＝NC.显然,MD为EN的中垂线.有EM＝MN.由BM2＋BE2＝BM2＋NC2＝MD2＋DN2＝MN2＝EM2,可知△BEM为直角三角形,∠MBE＝90°.有∠ABC＋∠ACB＝∠ABC＋∠EBC＝90°.于是,∠BAC＝90°.所以,AD2＝221BC＝41(AB2＋AC2).这里,添加AC的平行线,将BC的以D为中点的性质传递给EN,使解题找到出路.探究3：AB为半圆直径,D为AB上一点,分别在半圆上取点E、F,使EA＝DA,FB＝DB.过D作AB的垂线,交半圆于C.求证：CD平分EF.ANCDEBM高考资源网www.ks5u.com奥林匹克与自主招生《第十二讲平面几何常用的解题方法》主编：贾广素126二．添加辅助圆在某些数学竞...