高三数学圆的方程习题精选精讲VIP专享VIP免费

圆的方程（1）标准方程——请看圆心和半径所谓标准方程，就是能显示图形特征的方程.从圆的标准方程（x-a）2+（y-b）2=r2（r>0）中，我们能看见它的图形特征：圆心即定点（a，b），半径即定长r.a，b确定了圆的位置，r确定了圆的大小.确定一个圆需要三个条件，1个圆心相当2个条件，而半径只相当1个条件.【例1】求过点A（5，2）和点B（3，-2），圆心在直线2x-y=3上的圆的方程.【分析】点A和点B已知相当2个条件，圆心在已知直线上只相当1个条件.三个条件已知，圆的方程可定.【解析】设圆心为（a，b）,则有解得即圆心为（2，1）.由距离公式得半径r2=因此所求圆的方程为.【点评】具备三个独立条件方能确定圆的三个参数值，即确定圆的方程.如果还有某个条件未能确定，则得到的是“圆系”（圆的集合）方程.当题设中有条件很隐晦时，可先按“显形条件”求出圆系方程，再让圆系方程满足隐晦条件而把圆方程最后确定.（2）一般方程——看圆的代数式特征如果把圆的标准方程称作圆方程的“几何式”，而圆的一般方程则可称作圆方程的“代数式”.圆的一般方程为①这是一个缺“混合二次项xy”、且x2和y2两项系数相等且不为零的二元二次方程.它的图形是否为圆，还有限制条件.将①配方得整理得②（1）当时，依②知①表示以为圆心，为半径的圆；（2）当，①表示点圆；（3）当，①不表示任何图形.【例2】已知方程x2+y2-2(m+3)x+2·(1-4m2)·y+16m4+9=0表示一个圆.(1)求实数m的取值范围；(2)求该圆半径r的取值范围；(3)求圆心的轨迹方程.【解析】(1)方程表示圆的充要条件是D2+E2-4F>0，即：4(m+3)2+4(1-4m2)2-4(16m4+9)>0，解之得-0.（3）直线与圆的位置关系——由心线距确定判断直线与圆的位置关系有两种方法：①几何法：利用圆心到直线的距离d与半径r的大小判断②代数法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，利用判别式“Δ”进行判断：【例3】若圆上至少有三个不同的点到直线l:ax+by=0的距离为2,求直线l的倾斜角的取值范围.【解析1】圆（x-2）2+（y-2）2=18的圆心为A（2，2），半径为r=.当A到l的距离d=时，圆上恰有三个点到l的距离为2；当d<时，圆上有四点到直线l的距离为2；用心爱心专心115号编辑当d>时，圆上有两点到l的距离为2.如右图，当d=AC=时，OA=2，AOC=30°，∴COx=15°.在另一极端位置l′时，其倾斜角为75°.∴所求角的范围为[15°，75°]【解析2】圆的圆心为（2，2），半径为3. 圆上至少有三个不同的点到直线l:ax+by=0的距离为2，∴圆心到直线的距离小于或等于.即，亦即.故∴15°故所求角的范围为[15°，75°].【点评】解析1采用几何法来处理直线与圆的位置关系问题，而解析2是通过代数的方法来处理.（4）圆与圆的位置关系——由心心距和半径长确定【例4】已知两圆和，求：（1）m取何值时两圆外切；（2）m取何值时两圆内切，此时内切线方程是什么？（3）求m=45时两圆的公共弦长.【分析】先将两圆方程变为标准方程，利用外切和内切的条件求m的值，特别是两圆内切时，还应分析两圆半径大小关系再准确求解.【解析】(1)两圆的标准方程分别为：圆心分别为M（1，3），N（5，6），半径分别为和.当两圆外切时，解得.(2)当两圆内切时，因定圆的半径小于两圆圆心距离5，故只有解得又 ∴两圆公切线的斜率为.设所求公切线方程为解得易验证当时，直线与后一圆相交.故所求公切线方程为，即（3）当m=45时，两圆公共弦所在直线方程为4x+3y-23=0.由圆的半径、弦长、弦心距间的关系，不难求得公共弦的长为.【点评】当两圆内含、内切、相交、外切、外离时，它们的公切线条数分别为0、1、2、3、4.特别地，当两圆外离求其公切线方程时，可根据两直角三角形相似或定比分点公式求解.●通法特法妙法（1）转移法——化未知为已知若已知动点P1（α,β）在曲线C1：f1（x,y）=0上移动，动点P（x,y）依动点P1而动，它满足关系：①则关于α、β反解方程组①，得②代入曲线方程f1（x,y）=0，即可求得动点P的轨迹方程C：f（x...