高三数学函数图象、反函数、抽象函数（文）人教实验版（A）【本讲教育信息】一.教学内容：函数图象、反函数、抽象函数二.重点、难点：1.求反函数（1）判断是否有反函数（2）将看成关于的方程y为参数，解出（3）改写为习惯形式（注明定义域）2.图象（1）基本函数图象（2）函数图象的平移、伸缩（3）含绝对值函数图象的画法（4）利用图象解题【典型例题】[例1]求下列函数反函数（1）（2）（3）答案：（1）∴（2）∴（3）用心爱心专心∴[例2]一次函数，反函数还是自己，求答案：设∴∴或∴或（）[例3]为何值时，方程有两个不等实根答案：作函数的图象使两个图象恰有两个不同的交点∴无解一解两解[例4]方程，的解为，求。答案：作图：用心爱心专心A、B关于P对称，∴[例5]对函数定义域中任一个x的值均有，（1）求证的图像关于直线对称；（2）若函数对一切实数x都有，且方程恰好有四个不同实根，求这些实根之和。考查方向：本题考查函数概念、图象对称问题以及求根问题。知识背景：把证明图象对称问题转化到点的对称问题。易错分析：找不到问题的突破口，对条件不能进行等价转化。技巧方法：数形结合、等价转化。（1）证明：设是函数图象上任一点，则 ∴点与关于直线对称又∴∴也在函数的图象上，故的图象关于直线对称（2）解：由得的图象关于直线x=2对称若是的根，则也是的根若是的根，则也是的根∴即的四根之和为8[例6]如图，点A、B、C都在函数的图象上，它们的横坐标分别是，又A、B、C在x轴上的射影分别是，记的面积为，的面积为。（1）求函数和的表达式；（2）比较与的大小，并证明你的结论。考查方向：本题考查函数的解析式、函数图象、识图能力、图形的组合等。知识背景：充分借助图象信息，利用面积问题的拆拼以及等价变形找到问题的突破口。易错分析：图形面积不会拆拼。技巧方法：数形结合、等价转化。用心爱心专心解：（1）连结AA′、BB′CC′，则（2）∴[例7]已知函数的图象如图，求的范围。解法一：观察的图象，可知函数的图象过原点，即，得又的图象过（1，0）∴①又有，即②①+②得，故的范围是解法二：如图有三根0，1，2∴∴ 当时，，从而有∴[例8]对一切，（1）求f（0）（2）判断并证明y=f（x）的奇偶性答案：（1）令（2）令∴∴奇函数用心爱心专心[例9]，对一切满足（1）求f（1）（2）求证：（3）若时，恒成立，判断并证明的单调性答案：（1）∴（2）令∴∴（3）任取 ∴∴减函数[例10]，对一切有且（1）求f（0）（2），不等式恒成立，求的范围答案：（1）令令∴（2）显然不成立时，如图∴【模拟试题】用心爱心专心1.当时，和的图象只可能是（）2.某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了，再走余下的路，下图中y轴表示离学校的距离，x轴表示出发后的时间，则适合题意的图形是（）3.已知函数，将的图象向左平移1个单位，再将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象，则函数的最大值为。4.如图，在函数的图象上有A、B、C三点，它们的横坐标分别为（）。（1）若△ABC面积为S，求；（2）判断的增减性5.如图，函数在的图象上有两点A、B，AB//Ox轴，点M（1，m）（且）是△ABC的BC边的中点。（1）写出用B点横坐标表示△ABC面积S的函数解析式；（2）求函数的最大值，并求出相应的C点坐标。6.已知函数是的反函数，函数的图象与函数的图象关于y轴对称，设。（1）求函数的解析式及定义域；（2）试问在函数的图象上是否存在两个不同的点A、B，使直线AB恰好与y轴垂直？若存在，求出A、B的坐标；若不存在，说明理由。7.已知函数，（1）设，试画出的图象并求的曲线绕x轴旋转一周所得几何体的表面积；用心爱心专心（2）若方程有两个不等的实根，求实数的范围。（3）若的解集为，求的值。8.设函数的图象为关于点A（2，1）对称的图象为C2，C2对应的函数为。（1）求的解析表达式；（2）若直线与C2只有一个交点，求的值，并求出交点坐标；（3）解不等式（0）9.已知函数的图像与函数+的图像关于点A（0，1）对称。（1）求的解析式；（2）若，且在（－∞，+∞）上为增函数，求实数的取值范围。10.已知偶函数，对任意，恒有。（1）求f（0），f...
