高三数学二次函数、函数图象的简单变换【本讲主要内容】二次函数及相关的二次方程、二次不等式；函数图象的简单变换【知识掌握】【知识点精析】一.二次函数：1.定义：形如（）的函数是二次函数（）2.性质：（1）定义域，值域（2）单调性（3）奇偶性：当时，为偶函数（4）对称性：函数图象有对称轴（5）图象：抛物线3.二次函数与二次方程、二次不等式的关系时，或或可能化为的情形4.二次方程根的分布（1）与同一个数比较（2）与不同数比较二.函数图象的简单变换我们学过的函数仅是有限的几个，更多的都是它们经过简单的运算或是变换得到的，因而有必要将它们在变换的观点下进行联系，有助于我们由此及彼更灵活的把握函数的性质。1.平移变换这里关注、本身的变化。2.伸缩变换注意本身的变化3.对称变换特别的【解题方法指导】[例1]已知二次函数同时满足条件：（1）（2）的最大值是15（3）的两根的立方和是17求的解析式。解：由可知的对称轴为1，可设又两根且，∴∴[例2]已知集合，函数的定义域为Q（1）若，求的取值范围；（2）若方程在内有解，求的范围。解：（1），则在内至少有一个值，使成立由当时，∴即（2）方程在内有解在内有解即的值在的值域中由∴[例3]设函数，区间（），，则使M=N成立的实数对有多少个？解：由，可得是奇函数，故的图象关于原点成中心对称，当时，，据此可以作出在上的图象。观察图象可知，在R上减函数，要使（）与相等，必须，（由图可知同号显然不能满足题设）故有与题设矛盾∴不存在满足条件的实数对【考点突破】【考点指要】函数图象的变换及二次函数是作为最基本的知识背景来进一步解决高考中的题目的，因而，熟悉它，自觉的运用它是能力的体现，紧紧抓住变换初始函数的性质是关键，不能在这个环节上有任何的疏忽。【综合测试】一.选择题：1.（04，湖南）设若，，则关于的方程解的个数是（）A.1B.2C.3D.42.（05年北京）为了得到函数的图象，只需把函数上所有点（）A.向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位B.向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位C.向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位D.向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位3.（04年湖北）函数的图象大致是（）4.（04年福建）已知函数的反函数是，则函数的图象是（）5.（06年全国）抛物线上的点到直线的距离的最小值是（）A.B.C.D.36.（05年全国）设，函数，则使的的取值范围是（）A.B.C.D.二.填空题：7.（05年上海）方程的解是8.（05年江苏）已知为常数，若，，则9.（04年上海）若函数，在上是增函数，则的取值范围是10.（06年重庆）设且，函数有最大值，则不等式的解集是三.解答题：11.（05年全国）已知二次函数的二次项的系数为，且不等式的解集是（1，3）（1）若方程有两个相等的实根，求的解析式；（2）若的最大值为正数，求的取值范围。12.（05年浙江）已知函数和的图象关于原点对称，且（1）求函数的解析式（2）解不等式（3）若在上是增函数，求实数的范围。【综合测试答案】一.1.C提示：二次函数对称轴又∴，即时，∴方程为解时，或还可以画图观察2.A3.D提示：时，，排除A、C时，排除B，故D对。4.C提示：图象与关于对称，先左移1个单位再关于轴对称5.A提示：设点P（）是抛物线上的点，则P到直线的距离当时，6.C提示：依对数函数单调性，换为，解二次不等式。二.7.8.2提示：待定系数法9.提示：考查基本函数的图象再作平移10.（2，3）提示：设，时，又有最大值，故，再依对数函数单调性解不等式。11.解：（1）∵的解集（1，3）∴且①由方程得②∵②有两个相等的根∴或∵∴∴（2）及可得的最大值为由注：本题围绕二次函数最基本性质展开，从方程到不等式到二次函数图象等均涉及到，综合性强，但非无难题。12.解：（1）设函数图象上任意一点Q（）关于原点的对称点为P（）则∴点Q（）在函数的图象上∴即（2）由可得当时无解当时，∴（3）①当时，在是增函数∴②当时，是二次函数，其对称轴<1>当时，<2>当时，综上所述注：本题问题（1）借用了解析几何求对称曲线方程的方法——坐标代换，其实，函数与图象是特殊的曲线与方程，对于这个问题的处理方法，不应有陌生感。问题（2）研究的是二次函数单调性问题，要抓住二次函数图象的对称轴来解决问题。
