专题14圆锥曲线中的最值和范围问题★★★高考在考什么【考题回放】1.已知双曲线12222byax(a>0,b>0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是(C)A.(1,2)B.(1,2)C.[2,)D.(2,+∞)2.P是双曲线221916xy的右支上一点,M、N分别是圆(x+5)2+y2=4和(x-5)2+y2=1上的点,则|PM|-|PN|的最大值为(B)A.6B.7C.8D.93.抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是(A)A.43B.75C.85D.34.已知双曲线22221,(0,0)xyabab的左、右焦点分别为F1、F2,点P在双曲线的右支上,且|PF1|=4|PF2|,则此双曲线的离心率e的最大值为:(B)(A)43(B)53(C)2(D)735.已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则y12+y22的最小值是32.6.设椭圆方程为1422yx,过点M(0,1)的直线l交椭圆于点A、B,O是坐标原点,点P满足OP�(21OA�)OB�,点N的坐标为)21,21(,当l绕点M旋转时,求(1)动点P的轨迹方程;(2)||NP�的最小值与最大值.用心爱心专心【专家解答】(1)法1:直线l过点M(0,1)设其斜率为k,则l的方程为y=kx+1.①记A(x1,y1),B(x2,y2),由题设可得点A、B的坐标(x1,y1)、(x2,y2)是方程组②14122yxkxy的解.将①代入②并化简得(4+k2)x2+2kx-3=0,所以.48,42221221kyykkxx于是).44,4()2,2()(21222121kkkyyxxOBOAOP设点P的坐标为(x,y),则.44,422kykkx消去参数k得4x2+y2-y=0③当k不存在时,A、B中点为坐标原点(0,0),也满足方程③,所以点P的轨迹方程为4x2+y2-y=0解法二:设点P的坐标为(x,y),因A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上,所以,142121yx④.142222yx⑤④—⑤得0)(4122212221yyxx,所以.0))((41))((21212121yyyyxxxx当21xx时,有.0)(4121212121xxyyyyxx⑥用心爱心专心并且.1,2,221212121xxyyxyyyyxxx⑦将⑦代入⑥并整理得4x2+y2-y=0⑧当x1=x2时,点A、B的坐标为(0,2)、(0,-2),这时点P的坐标为(0,0)也满足⑧,所以点P的轨迹方程为.141)21(16122yx(2)由点P的轨迹方程知.4141,1612xx即所以127)61(3441)21()21()21(||222222xxxyxNP故当41x,||NP取得最小值,最小值为1;4当16x时,||NP取得最大值,最大值为.621★★★高考要考什么【考点透视】与圆锥曲线有关的最值和范围问题,因其考查的知识容量大、分析能力要求高、区分度高而成为高考命题者青睐的一个热点。【热点透析】与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决:(1)结合定义利用图形中几何量之间的大小关系;(2)不等式(组)求解法:利用题意结合图形(如点在曲线内等)列出所讨论的参数适合的不等式(组),通过解不等式组得出参数的变化范围;(3)函数值域求解法:把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数,通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。(4)利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用,往往需要创造条件,并进行巧妙的构思;(5)结合参数方程,利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程,它们的一个共同用心爱心专心特点是均含有三角式。因此,它们的应用价值在于:①通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标;②利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题;(6)构造一个二次方程,利用判别式0。★★★突破重难点【范例1】已知动点P与双曲线13222yx的两个焦点F1、F2的距离之和为定值,且cosF1PF2的最小值为91.(1)求动点P的轨迹方程;(2)若已知D(0,3),M、N在动点P的轨迹上且DNDM,求实数的取值范围.讲解(1)由题意c2=5.设|PF1|+|PF2|=2a(5a),由余弦定理,得1||||102||||2||||||cos21221221222121PFPFaPFPFFFPFPFPFF.又||1PF·22212)2||||(||aPFPFPF,当且仅当|PF1|=|PF2|时,|PF1||PF2|取最大值,此时cosF1PF2取最小值1...