三角函数中的数学思想方法三角函数是高中数学的重要内容，它蕴含着丰富的数学思想方法。灵活地借助数学思想方法解题，往往可以避免复杂的运算，优化解题过程，降低解题难度。本文能过实例介绍几种常用的数学思想方法。一.方程的思想例1.已知sinθ+cosθ=，θ（0，π），则cotθ=________。解析：由sinθ+cosθ=平方得sinθcosθ=。又θ（0，π），所以sinθ＞0，cosθ＜0，且sinθ＞，将sinθ，cosθ看作是方程的两根。所以sinθ=，cosθ=。从而cotθ=，应填。二.函数的思想例2.已知x，y∈[]，且x3+sinx－2a=0①，4y3+sinycosy+a=0②，求cos（x+2y）的值。解析：设f（u）=u3+sinu。由①式得f（x）=2a，由②式得f（2y）=－2a。因为f（u）在区间[]上是单调奇函数，用心爱心专心所以f（x）=－f（2y）=f（－2y）。又所因x,－2y∈[]，所以x=－2y，即x+2y=0。所以cos（x+2y）=1。三.数形结合的思想例3.函数f（x）=sinx+2，x∈[0，2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是______。解析：f（x）=函数f（x）=sinx+2，x∈[0，2π]的图象（如图1）与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则1＜k＜3。四.化归的思想例4.设α为第四象限的角，若，则tan2α=_________。解析：因为===，用心爱心专心所以，tan2=。又因为为第四象限的角，所以tan=，从而求得tan2=。五.分类讨论的思想例5.若△ABC的三内角满足sinA=①，问此三角形是否可能为直角三角形？解析：假设△ABC可以为直角三角形。（1）若B=90°，则A=90°－C，代入①中，得sin（90°－C）=，所以cos2C=1+sinC，1－sin2C=1+sinC，所以sinC=1，即C=90°。这是不可能的，所以B≠90°。（2）同理，C≠90°。（3）若A=90°。①式右边=①式左边=sinA=sin90°=1。所以此三角形可为直角三角形，此时A=90°。六.换元的方法例6.已知sin3θ+cos3θ=1，求sinθ+cosθ的值。解析：因为sin3θ+cos3θ=（sinθ+cosθ）（sin2θ+cos2θ－sinθcosθ）=（sinθ+cosθ）（1－sinθcosθ）所以（sinθ+cosθ）（1－sinθcosθ）=1。设sinθ+cosθ=x（），用心爱心专心则sinθcosθ=。所以x，即x3－3x+2=0，（x－1）2（x+2）=0。因为，所以x－1=0，得x=1。所以sinθ+cosθ=1。七.整体的方法例7.证明cos。证明：设，b=，则ab===。因为b≠0，所以a=。即原式得证。八.类比联想的方法例8.已知λ为非零常数，x∈R，且f（x+λ）=。问f（x）是否是周期函数？若是，求出它的一个周期；若不是，请说明理由。用心爱心专心分析：由于探索的是周期函数的问题，容易联想到三角函数。又f（x+λ）=的结构的形式极易与tan（x+）=进行类比，故可把tanx看成是f（x）的一个原型实例，且题中的λ相当于实例中的。由于周期函数tanx的周期T=4·，故可猜想f（x）也为周期函数，且周期为4λ。解：f（x+2λ）=f[（x+λ）+λ]=，则f（x+4）=f[（x+2）+2]=。所以f（x）是周期函数，且4是它的一个周期。用心爱心专心
