高三数学三次函数的性质以及在高考中的应用VIP专享VIP免费

三次函数的性质以及在高考中的应用三次函数yaxbxcxda320()≠已经成为中学阶段一个重要的函数，在高考和一些重大考试中频繁出现有关它的单独命题。2004年高考，在江苏卷、浙江卷、天津卷、重庆卷、湖北卷中都出现了这个函数的单独命题，特别是湖北卷以压轴题的形式出现，更应该引起我们的重视。单调性和对称性最能反映这个函数的特性。下面我们就来探讨一下它的单调性、对称性以及图象变化规律。函数yaxbxcxda320()≠的导函数为yaxbxc'322。我们不妨把方程3202axbxc称为原函数的导方程，其判别式432()bac。若0，设其两根为xbbacaxbbaca12223333、，则可得到以下性质：性质1：函数yaxbxcxda320()≠，若a0，当0时，y＝f(x)是增函数；当0时，其单调递增区间是(][)，，xx12，单调递增区间是[]xx12，；若a0，当0时，yfx()是减函数；当0时，其单调递减区间是(]，x2，[)x1，，单调递增区间是[]xx21，。（证明略）推论：函数yaxbxcxda320()≠，当0时，不存在极大值和极小值；当0时，有极大值fx()1、极小值fx()2。根据a和的不同情况，其图象特征分别为：图1性质2：函数fxaxbxcxdaxmn()()[]320≠，，，若xmn0[]，，且fx'()00，则：fxfmffn()max{()()()}max，，0；fxfmfxfn()min{()()()}min，，0。（证明略）性质3：函数yaxbxcxda320()≠是中心对称图形，其对称中心是（bafba33，()）。证明：设函数fxaxbxcxda()()320≠的对称中心为（m，n）。按向量amn()，将函数的图象平移，则所得函数yfxmn()是奇函数，所以fxmfxmn()()20用心爱心专心化简得：()30232mabxambmcmdn上式对xR恒成立，故30mab，得mba3，nambmcmdfba323()。所以，函数yaxbxcxda320()≠的对称中心是（bafba33，()）。可见，y＝f(x)图象的对称中心在导函数y＝fx'()的对称轴上，且又是两个极值点的中点。下面仅选一些2004年高考中出现的部分试题，让我们来体会一下如何应用这些性质快速、准确地解答问题。例1.（浙江）设fx'()是函数f(x)的导函数，yfx'()的图象如图2所示，则y＝f(x)的图象最有可能是（）图2图3解：根据图象特征，不妨设f(x)是三次函数。则yfx'()的图象给出了如下信息：①a0；②导方程两根是0，2，（f(x)对称中心的横坐标是1）；③在（0，2）上fx'()0；在（－，0）或（2，）上fx'()0。由①和性质1可排除B、D；由③和性质1确定选C。用心爱心专心例2.（江苏）函数fxxx()331在闭区间[－3，0]上的最大值、最小值分别是（）A.1，－1B.1，－17C.3，－17D.9，－19解：函数的导方程是3302x，两根为1和－1，由性质2得：fxffff()max{()()()()}max31013，，，，fxffff()min{()()()()}min310117，，，。故选C。例3.（天津）已知函数fxaxbxx()323在x＝±1处取得极值。（I）讨论f(1)和f(－1)是函数f(x)的极大值还是极小值；（II）过点A（0，16）作曲线y＝f(x)的切线，求此切线方程。解：（I）因为fxaxbxx()323，所以导方程32302axbx。因为fx()在x＝±1处取得极值，所以，x±1是导方程的两根，所以32303230abab解得a＝1，b＝0所以fxxx()33由推论得f()12是f(x)的极大值；f(1)＝－2是f(x)的极小值。（II）曲线方程为yxx33，点A（0，16）不在曲线上。设切点为M()xy00，因为fxx'()()00231，故切线方程为yyxxx002031()()点A（0，16）在切线上，所以163310030020()()()xxxx解得x02，切点为M（－2，－2）故所求切线方程为9160xy例4.（湖北）已知bc10，，函数fxxb()的图象与函数gxxbxc()2的图象相切。（I）求b与c的关系式（用c表示b）；（II）设函数Fxfxgx()()()在（，）内有极值点，求c的取值范围。解：（I）依题意，fxgx'()'()，得用心爱心专心xbfbgb121212，又()()，所以()bc142因为bc10，所以bc12（...