开卷速查(四十一)空间几何体的表面积和体积A级基础巩固练1．[2014·陕西]将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是()A．4πB．3πC．2πD．π解析：由几何体的形成过程知所得几何体为圆柱，底面半径为1，高为1，其侧面积S＝2πrh＝2π×1×1＝2π。答案：C2．[2014·安徽]一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为()A．21＋B．18＋C．21D．18解析：由三视图可知该几何体是棱长为2的正方体从后面右上角和前面左下角分别截去一个小三棱锥后剩余的部分，其表面积为S＝6×4－×6＋2××()2＝21＋。答案：A3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．8π＋16B．8π－16C．8π＋8D．16π－8解析：由三视图可知，该几何体为底面半径r＝2，高h＝4的半圆柱挖去一个底面为等腰直角三角形，直角边长为2高为4的直三棱柱，故所求几何体的体积为V＝π×22×4×－×2×2×4＝8π－16，故选B。答案：B4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为()A.πB.πC.πD.π解析：由三视图可知该几何体是底面边长为2，高为1的正三棱柱。其外接球的球心为上下底面中心连线的中点。∴R2＝2＋2＝，S＝4πR2＝π，故选C。答案：C5．如图，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为4，动点E，F在棱AB上，且EF＝2，动点Q在棱D′C′上，则三棱锥A′EFQ的体积()A．与点E，F位置有关B．与点Q位置有关C．与点E，F，Q位置都有关D．与点E，F，Q位置均无关，是定值解析：因为VA′－EFQ＝VQ－A′EF＝××4＝，故三棱锥A′－EFQ的体积与点E，F，Q的位置均无关，是定值。答案：D6．[2016·太原模拟]已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为()A.B.C.D.解析：因为△ABC为边长为1的正三角形，且球半径为1，所以四面体O－ABC为正四面体，所以△ABC的外接圆的半径为，所以点O到平面ABC的距离d＝＝，所以三棱锥的高SF＝2OE＝，所以三棱锥的体积为××1××＝。答案：A7．[2014·山东]三棱锥P－ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D－ABE的体积为V1，P－ABC的体积为V2，则＝__________。解析：如图，设点C到平面PAB的距离为h，三角形PAB的面积为S，则V2＝Sh，V1＝VE－ADB＝×S×h＝Sh，所以＝。答案：8．某几何体的三视图如图所示，则其体积为__________。解析：该几何体为一个半圆锥，故其体积为V＝××π×12×2＝。答案：9．在三棱锥A－BCD中，AB＝CD＝6，AC＝BD＝AD＝BC＝5，则该三棱锥的外接球的表面积为__________。解析：依题意得，该三棱锥的三组对棱分别相等，因此可将该三棱锥补形成一个长方体，设该长方体的长、宽、高分别为a、b、c，且其外接球的半径为R，则得a2＋b2＋c2＝43，即(2R)2＝a2＋b2＋c2＝43，易知R即为该三棱锥的外接球的半径，所以该三棱锥的外接球的表面积为4πR2＝43π。答案：43π10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝，在三角形内挖去一个半圆(圆心O在边BC上，半圆与AC，AB分别相切于点C，M，与BC交于点N)，将△ABC绕直线BC旋转一周得到一个旋转体。(1)求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；(2)求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积。解析：(1)连接OM，则OM⊥AB，设OM＝r，则OB＝－r，在△BMO中，sin∠MBO＝＝＝，∴r＝。∴S＝4πr2＝π。(2) △ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝，∴AC＝1。∴V＝V圆锥－V球＝π×AC2×BC－πr3＝π×12×－π3＝π。B级能力提升练11．正四棱锥的顶点都在同一球面上。若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为()A.B．16πC．9πD.解析：由图知，R2＝(4－R)2＋2，∴R2＝16－8R＋R2＋2，∴R＝，∴S表＝4πR2＝4π×＝π，选A。答案：A12．[2014·湖南]一块石材表示的几何体的三视图如图所示。将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于()A．1B．2C．3D．4解析：该几何体为直三棱柱，底面是边长分别是6,8,10的直角三角形，侧棱长为12，故能得到的最大球的半径等于底面直角三角形内切圆的半径，其半径为r＝＝2，故选B。答案：B13．已知三棱锥D－ABC中，AB＝BC＝1...
