第四节直接证明和间接证明A组基础题组1.(2016广东广州调研)若a,b,c为实数,且aab>b2C.2.若P=+,Q=+(a≥0),则P,Q的大小关系是()A.P>QB.P=QC.P1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2;⑤ab>1.其中能推出“a,b中至少有一个大于1”的条件是()A.②③B.①②③C.③D.③④⑤5.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)单调递减,若x1+x2>0,则f(x1)+f(x2)的值()A.恒为负值B.恒等于零C.恒为正值D.无法确定正负6.已知a,b,x均为正数,且a>b,则与的大小关系是.7.下列条件:①ab>0,②ab<0,③a>0,b>0,④a<0,b<0,其中能使+≥2成立的条件的个数是.8.用数学归纳法证明不等式++…+>(n∈N*)的过程中,由“n=k”推导“n=k+1”时,不等式的左边增加的式子是.9.已知函数f(x)=ln(1+x),g(x)=a+bx-x2+x3,函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象在交点(0,0)处有公共切线.(1)求a,b的值;(2)证明:f(x)≤g(x).10.已知数列{an}满足a1=,且an+1=(n∈N*).(1)证明:数列是等差数列,并求数列{an}的通项公式;(2)设bn=anan+1(n∈N*),数列{bn}的前n项和记为Tn,证明:Tn<.B组提升题组11.如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值,则()A.△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形B.△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形C.△A1B1C1是钝角三角形,△A2B2C2是锐角三角形D.△A1B1C1是锐角三角形,△A2B2C2是钝角三角形12.平面内有n条直线,最多可将平面分成f(n)个区域,则f(n)的表达式为()A.n+1B.2nC.D.n2+n+113.如果a+b>a+b,则a,b应满足的条件是.14.设数列{an}的前n项和为Sn,且对任意的自然数n都有(Sn-1)2=anSn,通过计算S1,S2,S3,猜想Sn=.15.等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=1+,S3=9+3.(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn;(2)设bn=(n∈N*),求证:数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.16.已知数列{an}满足a1=a>2,an=(n≥2,n∈N*).(1)求证:对任意n∈N*,an>2;(2)判断数列{an}的单调性,并说明你的理由;(3)设Sn为数列{an}的前n项和,求证:当a=3时,Sn<2n+.答案全解全析A组基础题组1.Ba2-ab=a(a-b), a0,∴a2>ab.①同理,ab>b2,②由①②得a2>ab>b2.2.A假设P>Q,要证P>Q,只需证P2>Q2,只需证:2a+13+2>2a+13+2,只需证a2+13a+42>a2+13a+40,只需证42>40,因为42>40成立,所以P>Q成立.3.A假设n=k时,原式能被9整除,即k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除,当n=k+1时,原式=(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3,为了能用上面的归纳假设,只需将(k+3)3展开,让其出现k3即可.4.C若a=,b=,则a+b>1,但a<1,b<1,故①推不出;若a=b=1,则a+b=2,但不满足a,b中至少有一个大于1,故②推不出;若a=-2,b=-3,则a2+b2>2,但a<1,b<1,故④推不出;若a=-2,b=-3,则ab>1,但a<1,b<1,故⑤推不出.对于③,若a+b>2,则“a,b中至少有一个大于1”成立.证明(反证法):假设a≤1且b≤1,则a+b≤2,与a+b>2矛盾,因此假设不成立,故a,b中至少有一个大于1.故选C.5.A由f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)单调递减,可知f(x)是R上的单调递减函数,由x1+x2>0,可知x1>-x2,f(x1)解析 -=>0,∴>.7.答案3解析要使+≥2成立,则>0,即a与b同号,故①③④均能使+≥2成立.8.答案解析不等式的左边增加的式子是+-=.9.解析(1)f'(x)=,g'(x)=b-x+x2,由题意得解得a=0,b=1.(2)证明:令h(x)=f(x)-g(x)=ln(x+1)-x3+x2-x(x>-1),则h'(x)=-x2+x-1=.h(x)在(-1,0)上为增函数,在(0,+∞)上为减函数.h(x)max=h(0)=0,h(x)≤0,即f(x)≤g(x).10.解析(1)由已知可得,当n∈N*时,an+1=,两边取倒数得,==+3,即-=3,所以数列是首项为=2,公差为3的等差数列,其通项公式为=2+(n-1)×3=3n-1,所以数列{an}的通项公式为an=.(2)证明:由(1)知an=,故bn=anan+1=·==,故Tn=b1+b2+…+bn=×+×+…+×==-·.因为>0,所以Tn<.B组提升题组11.D由条件知,△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0,则△A1B1C1是锐角三角形,假设△A2B2C2是锐角三角形,由题意不妨令cosA1=sinA2,cosB1=sinB2,cosC...
