高三数学一类涂色问题的分析方法VIP专享VIP免费

ACBD一类涂色问题的分析方法-逻辑划分思想方法嘉定区封浜中学杜正荣邮编201812电话27867241Emilzhengrong-du@126.com涂色问题是数学竞赛中的常规问题，经常涉及到的是“染色问题“与“染色方法“两种，具体是“点、边、区域”染色的构造问题、计数问题、最优化问题。但它又是排列组合问题种的难点，一些简单的问题对于许多学生来说，方法上还很困难，随着数学竞赛对数学知识的普及，现在染色问题已经渗透到高考，2003年全国高考数学和江苏卷即有此类题。如何帮助学生们解答分析，下面举例说明用加、乘原理及排列、组合、模型化结构的方法。一、分步染色方法适用于“区域、点、线段”问题，以其为主分步计数法，用乘法原理例1如图1，用五种不同颜色，涂在A,B,C,D的每一部分，每块用一种颜色，相邻的两块颜色不同，不同颜色的涂法有多少种？解法一：以区域为主分步计数，用乘法原理分析，可分四步涂色。第一步涂A有5种，第二种涂B（与A不同）有4种；第三步涂C（与A、B不同）有3种；第四步涂D（与B、C不同可与A同）有3种，故所有不同颜色的涂色方法数为：5·4·3·3=180种。图1二、以颜色为主分类讨论法，适用于“区域、点、线段”问题，用加法原理解法二：以颜色为主分类计数，按A、D同色与不同色分两类，用加法原理。第一类A、D同色涂有种，再涂B、C（与A、D不同）有种，故此类方法数为种；第二类A、D不同色先涂有种，再涂B、C（与A、D不同）有种，故此类方法数为种，由加法原理得不同的涂色方法数共有+=180种。三、以相邻是否同色为主分步计数法，适用于“区域、点、线段”问题解法三：以相邻区域为主分步计数，分两步涂色，按A、B、C相邻不同色先涂，有种，再涂D（与B、C不同色，可与A同色）有3种，由乘法原理共有3=180种。四、从相邻颜色最多的区域开始（最大相邻原则）分步计数法，适用于“区域、点、线段”问题，用加法原理解法四：从相邻颜色最多的区域开始分步计数，分两步涂色，因B、C相邻元素最多，所以第一步先涂B、C有种，第二步涂A、D（可同色但与B、C不同色）各有3种，由乘法原理得不同的涂色方法数共有3·3·=180种。注：本例类型属有一对不相邻可涂同色类型，其通用方法可归纳为“按颜色分类，按区域分步”，依次对应加法原理与乘法原理，如图2模型。仿上四种解法均有效。图2例2将例1改为用5种不同颜色涂如图3的五块，相邻部分不同色，问有多少种不同的涂色方法？解法一：以区域为主分步计数，用乘法原理分析，可分四步涂色。分五步涂色，第一步涂A有5种，第二种涂B（与A不同）有4种；第三步涂C（与A、B不同）有3种；第四步涂D（与B、C不同可与A同）有3种，第五步涂E（与C、D不同可与A、B相同）有3种故所有不同颜色的涂色方法数为：5·4·3·3·3=540种。图3解法二：以颜色为主分类计数，按A、D（或E）同色与不同色分两类，用加法原理。用心爱心专心CBADABDCE第一类A、D同色先涂有种，再涂B、C（与A、D不同）有种，后涂E有3种，故此类方法数为·3=180种；第二类A、D不同色先涂有种，再涂B、C（与A、D不同）有种，后涂E有3种，故此类方法数为·3=360种，由加法原理得不同的涂色方法数共有·3+·3=540种。解法三：以相邻区域为主分步计数，分三步涂色，第一步按A、B、C相邻不同色先涂，有种，第二步再涂D（与B、C不同色，可与A同色）第三步后涂E各有3种，由乘法原理共有3·3·=540种。解法四：从相邻颜色最多的区域开始（最大相邻原则）分步计数，分两步涂色，因B、C、D相邻元素多，所以第一步先涂B、C、D有种，第二步涂A、E（可同色但与B、C、D不同色）各有3种，由乘法原理得不同的涂色方法数共有3·3·=540种。注：本例类型属有一对不相邻可涂同色类型，如图4模型。仿上四种解法均有效。图4例3如图5，用五种不同的颜色涂在A、B、C、D四块上每块用一种颜色，有相邻两块颜色不同，问有多少种不同的涂色方法？解法一：以颜色为主分类计数，按颜色的多少分三类，第一类用4种不同颜色先涂有种，第二类用3种不同色，先选色有， A、C或B、D无相邻边可同色，图5必有一组为同色，另一组为两不同色，∴有涂有种，故此类方法数为种，第三类用2种不同色涂，则A、C或B、D各涂一色...