(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题1．数列{an}中，an＋1＝an＋2(n∈N*)，则点A1(1，a1)，A2(2，a2)，…An(n，an)分布在()A．直线上，且直线的斜率为－2B．抛物线上，且抛物线的开口向下C．直线上，且直线的斜率为2D．抛物线上，且抛物线的开口向上【解析】∵＝an－an－1＝2(n≥2)，∴A1，A2，A3，…，An在斜率为2的直线上．【答案】C2．(2009年长沙模拟)在等差数列{an}中，a3＋a7－a10＝8，a11－a4＝4，则S13等于()A．152B．154C．156D．158【解析】方法一：设首项为a1，公差为d，则，即，∴S13＝13×＋×＝＝156.方法二：∵a3＋a7－a10＋a11－a4＝12，∴a7＝12，∴S13＝13a7＝156.【答案】C3．(2008年天津高考)若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7＝()A．12B．13C．14D．15【解析】∵S5＝＝＝5a3＝25，∴a3＝5，∴公差d＝a3－a2＝5－3＝2，∴a7＝a2＋5d＝3＋5×2＝13.【答案】B4．等差数列{an}中，记Sn为前n项和，若a1＋a7＋a13是一确定的常数，下列各式①a21；②a7；③S13；④S14；⑤S8－S5中，也为确定常数的是()A．②③⑤B．①②⑤C．②③④D．③④⑤【解析】∵a1＋a13＝2a7，∴a1＋a7＋a13＝3a7，故a7为确定的常数；根据性质，在等差数列中，S13＝13·a7，∴S13为确定的常数，S8－S5＝a6＋a7＋a8＝3a7，∴S8－S5为确定的常数.【答案】A5．等差数列{an}的前n项和满足S20＝S40，下列结论中正确的是()用心爱心专心A．S30是Sn中的最大值B．S30是Sn中的最小值C．S30＝0D．S60＝0【解析】由S20＝S40，得a21＋a22＋…＋a40＝0，即10(a21＋a40)＝0，即a21＋a40＝0，∴a1＋a60＝0，∴S60＝＝0.【答案】D二、填空题6．(2009年天门模拟)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若a2∶a4＝7∶6，则S7∶S3等于______．【解析】∵＝，∴＝，∴＝，∴＝∴＝2.【答案】2∶17．若数列{an}是等差数列，数列{bn}满足bn＝an·an＋1·an＋2(n∈N*)，{bn}的前n项和用Sn表示，若{an}满足3a5＝8a12＞0，则当n等于______时，Sn取得最大值．【解析】∵3a5＝8a12＞0，∴3a5＝8(a5＋7d)＞0，解得a5＝－d＞0，∴d＜0，∴a1＝－d，故{an}是首项为正数的递减数列，由，即，解得15≤n≤16，∴n＝16，即a16＞0，a17＜0，∴a1＞a2＞…＞a16＞0＞a17＞a18＞…，∴b1＞b2＞…＞b14＞0＞b17＞b18＞…，而b15＝a15a16a17＜0，b16＝a16a17a18＞0，∴S14＞S13＞…＞S1，S14＞S15，S15＜S16，又a15＝－d＞0，a18＝d＜0，∴a15＜|a18|，∴|b15|＜b16，即b15＋b16＞0，∴S16＞S14，故Sn中S16最大．【答案】168．已知点A(x1，y1)，B(1,2)，C(x2，y2)在抛物线y2＝4x上，且A、B、C到焦点F(1,0)的距离成等差数列，则x1＋x2＝______.【解析】设A、B、C到准线的距离分别为d1，d2，d3，∵|AF|＋|CF|＝2|BF|，∴d1＋d3＝2d2，∴x1＋1＋x2＋1＝2(1＋1)，∴x1＋x2＝2.【答案】2三、解答题9．(2009年江苏高考)设{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足a22＋a32＝a42＋a52，S7＝7.(1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；(2)试求所有的正整数m，使得为数列{an}中的项．【解析】(1)由题意，设等差数列{an}的通项公式为用心爱心专心an＝a1＋(n－1)d，d≠0.由a22＋a32＝a42＋a52知2a1＋5d＝0.①又因为S7＝7，所以a1＋3d＝1.②由①②可得a1＝－5，d＝2.所以数列{an}的通项公式an＝2n－7，Sn＝＝n2－6n.(2)因为＝＝am＋2－6＋为数列{an}中的项，故为整数，又由(1)知am＋2为奇数，所以am＋2＝2m－3＝±1，即m＝1,2.经检验，符合题意的正整数只有m＝2.10．(2009年绍兴模拟)已知数列{an}中，a1＝5，且an＝2an－1＋2n－1(n≥2且n∈N*)．(1)求a2，a3的值；(2)是否存在实数λ，使得数列为等差数列，若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【解析】(1)∵a1＝5，∴a2＝2a1＋22－1＝13，a3＝2a2＋23－1＝33.(2)方法一：假设存在实数λ，使得数列为等差数列，设bn＝，由{bn}为等差数列，则有2b2＝b1＋b3，∴2×＝＋，∴＝＋.解得λ＝－1.事实上，bn＋1－bn＝－＝[(an＋1－2an)＋1]＝[(2n＋1－1)＋1]＝1.综上可知，存在实数λ＝－1，使得数列为等差数列．方法二：假设存在实数λ，使得为等差数列．设bn＝，由{bn}为等差数列，则有2bn＋1＝bn＋bn＋2(n∈N*)．∵2×＝＋.∴λ＝4an＋1－4an－an＋2＝2(an＋1－2an)－(an＋2－2an＋1)＝2(2n＋1－1)－(2n＋2－1)＝－1.综上可知，存在实数λ＝－1，使得数列为等差数列用心爱心专心
