高三数学 第68练 高考大题突破练——圆锥曲线-人教版高三全册数学试题VIP免费

第68练高考大题突破练——圆锥曲线1．已知中心在原点O，左焦点为F1(－1,0)的椭圆C的左顶点为A，上顶点为B，F1到直线AB的距离为|OB|.(1)求椭圆C的方程；(2)如图，若椭圆C1：＋＝1(m>n>0)，椭圆C2：＋＝λ(λ>0，且λ≠1)，则称椭圆C2是椭圆C1的λ倍相似椭圆．已知C2是椭圆C的3倍相似椭圆，若椭圆C的任意一条切线l交椭圆C2于两点M、N，试求弦长|MN|的取值范围．2．已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线l过定点．3.(2016·山东)平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率是，抛物线E：x2＝2y的焦点F是C的一个顶点．(1)求椭圆C的方程；(2)设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D.直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.①求证：点M在定直线上；②直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1，△PDM的面积为S2，求的最大值及取得最大值时点P的坐标．4．已知曲线C1上任意一点M到直线l：y＝4的距离是它到点F(0,1)距离的2倍；曲线C2是以原点为顶点，F为焦点的抛物线．(1)求C1，C2的方程；(2)设过点F的直线与曲线C2相交于A，B两点，分别以A，B为切点引曲线C2的两条切线l1，l2，设l1，l2相交于点P，连接PF的直线交曲线C1于C，D两点，求AD·CB的最小值．答案精析1．解(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，∴直线AB的方程为＋＝1.∴F1(－1,0)到直线AB距离d＝＝b，整理得a2＋b2＝7(a－1)2，又b2＝a2－1，解得a＝2，b＝，∴椭圆C的方程为＋＝1.(2)椭圆C的3倍相似椭圆C2的方程为＋＝1，①若切线l垂直于x轴，则其方程为x＝±2，易求得|MN|＝2；②若切线l不垂直于x轴，可设其方程为y＝kx＋p，将y＝kx＋p代入椭圆C的方程，得(3＋4k2)x2＋8kpx＋4p2－12＝0，∴Δ＝(8kp)2－4(3＋4k2)(4p2－12)＝48(4k2＋3－p2)＝0，即p2＝4k2＋3.(*)记M、N两点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，将y＝kx＋p代入椭圆C2的方程，得(3＋4k2)x2＋8kpx＋4p2－36＝0，此时x1＋x2＝－，x1x2＝，∴|x1－x2|＝，∴|MN|＝·＝4＝2， 3＋4k2≥3，∴1<1＋≤，即2<2≤4，结合①②，得弦长|MN|的取值范围为[2，4]．2．解(1)如图，设动圆圆心为O1(x，y)，由题意，知O1A＝O1M，当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥MN交MN于H，则H是MN的中点，∴O1M＝.又|O1A|＝，∴＝，化简得y2＝8x(x≠0)．又当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标(0,0)也满足方程y2＝8x，∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.(2)由题意，设直线l的方程为y＝kx＋b(k≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将y＝kx＋b代入y2＝8x，得k2x2＋(2bk－8)x＋b2＝0.其中Δ＝－32kb＋64＞0.由根与系数的关系得，x1＋x2＝，①x1x2＝.②因为x轴是∠PBQ的角平分线，所以＝－，即y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0，所以(kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝0，整理得2kx1x2＋(b＋k)(x1＋x2)＋2b＝0，③将①②代入③并化简得8(b＋k)＝0，所以k＝－b，此时Δ＞0，∴直线l的方程为y＝k(x－1)，即直线l过定点(1,0)．3．(1)解由题意知＝，可得a2＝4b2，因为抛物线E的焦点为F，所以b＝，a＝1，所以椭圆C的方程为x2＋4y2＝1.(2)①证明设P(m>0)，由x2＝2y，可得y′＝x，所以直线l的斜率为m，因此直线l的方程为y－＝m(x－m)，即y＝mx－.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)．联立方程得(4m2＋1)x2－4m3x＋m4－1＝0.由Δ>0，得00)，则＝1，∴p＝2，∴曲线C2的方程为x2＝4y.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的方程为y...