高三数学 幂函数、指数函数与对数函数，函数的最值，函数的图像 知识精讲VIP专享VIP免费

高三数学幂函数、指数函数与对数函数，函数的最值，函数的图像知识精讲一、幂函数、指数函数与对数函数1.幂函数的定义、图像和性质（1）定义形如yxa（a是常数，aR）的函数叫做幂函数，定义域是使xa有意义的x的取值范围。（2）图像和性质①它们都过点（1，1），除原点外，任何幂函数与坐标轴不相交，任何幂函数都不过第四象限。②a1312123，，，，时，幂函数图像过原点且在[)0，上是增函数。③a2112，，时幂函数图像不过原点且在[)0，上是减函数。④任何两个幂函数最多有三个公共点。2.指数函数与对数函数的图像和性质名称指数函数对数函数解析式yaaax()＞≠且00yxaaalog()＞≠且00定义域()，()0，值域()0，()，图像性质（1）y＞0。（2）图像过点（0，1）。（3）a＞1。当x＞0时，y＞1。当x＜0时，01＜＜y。01＜＜a。当x＞0时，01＜＜y。当x＜0时，y＞1。（4）a＞1。yax为增函数。01＜＜a，yax为减函数。（1）x＞0。（2）图像过点（1，0）。（3）a＞1。当x＞1时，y＞0。当01＜＜x时，y＜0。01＜＜a。当x＞1时，y＜0。当01＜＜x时，y＞0。（4）a＞1。在（0，）上为增函数。01＜＜a。在（0，）上为减函数。二、函数的最值1.值域与最值值域的概念：即对于定义域A上的函数yfx()其值域是指集合{|()}}yyfxxA，，值域是函数值的变化区域。Www.chinaedu.com0004期版权所有不得复制1函数的最值就是在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数这是函数的最小（大）值。因此，求函数的最值和值域其实质是相同的，方法也完全一样，即可运用求值域的方法求（证）最值问题。2.求函数最值的常用方法有下列八种方法（1）直接法：直接法也叫观察法，就是直接由函数解析式的本身观察出函数的值域，其题型特征是解析式中的某一部分是独立的。（2）逆求法：通过反解x，把x用含有y的式子表示出来，使含有y的式子有意义，求出y的范围，其题型特征是yfx()中很容易把x解出来，并且从yfx()到xgy()必须是同解变形。（3）换元法：通过简单的换元把一个复杂函数变成简单函数，其解题特征是函数解析式中含有根号，当根号里是一次式时用代数换元，当根式里是二次式时，用三角换元。（4）判别式法：把yfx()通过同解变形为关于x的一元二次方程，利用判别式大于等于零求其值域，其题型特征是解析式中含有根式或分式。（5）基本不等式法：利用基本不等式abababcabc≥，≥233()abcR，，可以求函数y的最值，其题型特征是解析式是和式时要求积为定值，解析式是积式时，要求和为定值，不过有时须要用到拆项，添项和平方的技巧。（6）函数图像法：当一个函数的图像可作时，通过图像可求其值域和最值。（7）函数的性质法：当一个函数很容易得到其单调性时，利用单调性可求其值域。（8）几何意义法：当要求的一个解析式明显具备某种几何意义时，像两点间的距离公式、直线斜率、直线在坐标轴上的截距等等，我们可以利用其几何意义来求其值域。三、函数的图像1.画函数的图像主要有以下三种方法（1）描点法（高中阶段基本不用）；（2）利用函数的性质；（3）利用图像变换或坐标平移变换。2.要会熟练地画出基本函数的图像如一次函数、二次函数、反比例函数、幂指对函数、三角函数、反三角函数的图像等，这是画复杂函数的基础，复杂函数的图像往往是通过这些基本函数的图像经过变换得到的，这是画函数图像的基本方法。3.画函数图像的一般步骤（1）确定函数的解析式；（2）化简函数解析式；（3）讨论函数图像的性质（如定义域、截距、奇偶性、单调性、渐近线、图像上的特殊点等）以缩小描点的范围；（4）采用描点法或利用基本函数图像画出所需的图像。4.掌握函数图像的几种变换（1）平移变换①水平变换yfxaa()()±＞0的图像可由yfx()的图像向左（＋）或向右（－）平移a个单位而得到。②竖直平移yfxbb()()±＞0的图像可由yfx()的图像向上（＋）或向下（－）平移b个单位而得到。（2）对称变换①yfx()与yfx()关于y轴对称；②yfx()与yfx()关于x轴对称；Www.chinaedu.com0004期版权所有不得复制2③yfx()与yfx()关于...